معلومة عشوائية

$معلومات سريعة$ يعتبر الرياضي الهندي رمانوجان Ramanujan من أبرز العبقريات الرياضية ، وقد اكتشف صيغاً مذهلة مثل $\frac{1}{\pi } = \frac{{2\sqrt 2 }}{{9801}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{(4k)!(1103 + 26390k)}}{{(k!)^4 396^{4k} }}}$ تعتبر الصيغة من أسرع الطرق لحساب $\pi$ ، أو الصيغة الجميلة التالية : $\frac{1}{{1 + \frac{1}{{1 + \frac{2}{{1 + \frac{3}{{1 + \frac{4}{{1 + ...}}}}}}}}}} + 1 + \frac{1}{{1 \times 3}} + \frac{1}{{1 \times 3 \times 5}} + \frac{1}{{1 \times 3 \times 5 \times 7}} + ... = \sqrt {\frac{{\pi e}}{2}}$ والتي تجمع بين كسر متصل ومتسلسلة لانهائية و $e$ و $\pi$

$تكامل$

صفحة تعطي نتيجة فورية لمسألة التكامل, إدخال الدالة^[م] المكاملة

يتم حسب ترميز معين.على سبيل المثال جاس تكتب بالكشل

$Sin [x]$ لاحظ الحرف S في وضع

Uppercase انقر هنا للإطلاع علي ترميز بقية الدوال.

$معلومات سريعة$

1) استعمل حااسبة على النت

2) استعمل حاسبة أخرى مشابهه

3) حاسبة مع تحويل للوحدات

4) حاسبة لأغراض التراكيب العددية

مجموعات اف-سيجما وجي-دلتا

G-delta and F-sigma sets

تعريف مجموعة جي-دلتا

في فضاء تبولوجي X المجموعة $G_\delta$ جي-دلتا G-delta عبارة عن تقاطع عدود لمجموعات مفتوحة. المجموعة $F_\sigma$ (اف-سيجما F-sigma) عبارة عن إتحاد عدود لمجموعات مغلقة.

إذا كانت مجموعة $G_\delta$ فإن مكملتها $F_\sigma$ والعكس صحيح. كلا من $F_\sigma$ , $G_\delta$ أنواع خاصة من مجموعات بورل. يمكن تعريف مجموعات من نوع $F_{\sigma \delta }$ وهي تقاطع عدود لمجموعات جميعها $F_\sigma$ . بنفس الكيفية نعرف أنواع أخرى منها

$F_{\sigma \delta \sigma } ,\;G_{\delta \sigma } ,\;G_{\delta \sigma \delta } ,\; \ldots$

بما أن جبرة بول مغلقة تحت عملية التقاطع العدود وعملية المكلمة (وبالتالي مغلقة تحت عملية الإتحاد العدود) فإن كل هذه الأنواع مجموعات بورل. العكس غير صحيح ليس كل مجموعة بورل من أحد هذه الأنواع.

الأعداد المثلثية

Triangular Numbers

تعريف

يعرف العدد المثلثي (أو الثلاثي) $T_n$ triangular number على أنه مجموع أول n عددا من الأعداد الصحيحة الموجبة, أي أن

$T_n = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}$

متتابعة هذه الأعداد هي (http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000217):

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ....

خصائص العدد المثلثي

1) مجموع عددين مثلثين متتابعين عدد مربع. تحديدا $T_n + T_{n - 1} = n^2$ وذلك لأن

$T_n + T_{n - 1} = \left( {\frac{{n^2 }}{2} + \frac{n}{2}} \right) + \left( {\frac{{\left( {n - 1} \right)^2 }}{2} + \frac{{n - 1}}{2}} \right) = \left( {\frac{{n^2 }}{2} + \frac{n}{2}} \right) + \left( {\frac{{n^2 }}{2} - \frac{n}{2}} \right) = n^2$

هذا أيضا واضح من خلال الرسم التالي الممثل ل $T_5 + T_4$ .

2) مجموع أول n عددا مثلثيا يساوي $\left( \begin{array}{c} n + 2 \\ 3 \\ \end{array} \right)$ .

3) الدالة^[م] المولدة لمتتابعة الأعداد المثلثية هي $\sum\limits_{n = 0}^\infty {T_n x^n = } \frac{1}{{(1 - x)^3 }}$

4) كل عدد صحيح موجب يمكن كتابته كحاصل جمع ثلاثة أعداد مثلثية أو أقل.

الأعداد التوافقية (أعداد أور)

Harmonic Numbers (Ore Numbers)

تعريف العدد التوافقي

العدد التوافقي أو عدد أور harmonic number أو harmonic divisor number عبارة عن عدد صحيح موجب n بحيث يكون الوسط التوافقي $H_n$ لقواسمه عدد صحيح. فإذا كانت $d_1 ,d_2 , \ldots ,d_k$ قواسم n فإن

$H_n = \frac{k}{{\frac{1}{{d_1 }} + \frac{1}{{d_2 }} + \ldots + \frac{1}{{d_k }}}}\quad (1)$

عدد صحيح. نستطيع تبسيط العلاقة $(1)$ بضرب بسطها ومقامها في العدد n ليتحول المقام إلى مجموع قواسم n الموجبة وبذلك نحصل على الصورة مبسطة للعلاقة $(1)$ وهي

$H_n = \frac{{n\tau (n)}}{{\sigma (n)}}\quad (2)$

حيث $\tau (n)$ عدد قواسم n الموجبة و $\sigma (n)$ مجموعها. العدد 1 هو أول عدد توافقي. العدد 6 أيضا توافقي ويأتي ثانيا في متتابعة الأعداد التوافقية حيث

$H_6 = \frac{{6\tau (6)}}{{\sigma (6)}} = \frac{{6(4)}}{{1 + 2 + 3 + 6}} = 2$

لاحظ أن $\frac{{\sigma (n)}}{{\tau (n)}}$ هو الوسط الحسابي $A_n$ للقواسم الموجبة للعدد n لذلك نستنتج أن العدد n توافقي إذا وإذا فقط كان يساوي حاصل ضرب الوسط الحسابي لقواسمه في الوسط التوافقي لها, أي أن

العدد n توافقي إذا وإذا فقط $A_n H_n = n$

متتابعة الأعداد التوافقية هي (http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001599)

1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190, 18600, 18620, 27846, 30240, 32760, 55860, 105664,...

الآن نثبت نظرية أور Ore في إثبات أن كل عدد تام هو عدد توافقي. العكس غير صحيح فالعدد 140 عدد توافقي غير تام.

مبرهنة1(Ore): إذا كان N عدد تام فإنه توافقي.

البرهان: العدد التام n مجموع قواسمه 2n لذلك

العدد التام

Perfect Number

تعريف العدد التام

العدد التام هو عدد صحيح موجب يساوي مجموع قواسمه الفعلية الموجبة, أي التي أصغر منه. بعبارة أخرى العدد n تام إذا كان $\sigma (n) = 2n$ حيث $\sigma (n)$ مجموع قواسمه(الموجبة). إذا كان $\sigma (n) < 2n$ سمي n عدد ناقص deficient وإذا كان $\sigma (n) > 2n$ سمي n عدد وافر abundant. أول عدد تام هو 6 حيث 6=1+2+3 ويليه العدد التام 28 حيث 28=1+2+4+7+14.

متتابعة الأعداد التامة (http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000396) هي

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176,...

لقد برهن إقليدس (سنقدم الإثبات بعد قليل) في كتابه العناصر ما معناه, إذا كان $p = 2^k - 1$ عدد أولي فإن $\frac{{p(p + 1)}}{2}$ عدد تام. طبق هذه الحقيقة على العدد الأولي $31 = 2^5 - 1$ تحصل على العدد التام $496$ وهو الحد الثالث في متتابعة الأعداد التامة.

حقيقة1: إذا كان N عدد تام فإن $\sum\limits_{d|N} {\frac{1}{d} = 2}$ .
البرهان: لاحظ أن التجمع $\{ d:d|N\}$ هو نفسه التجمع $\{ N/d:d|N\}$ لذلك

$2N = \sum\limits_{d|N} d = \sum\limits_{d|N} {\frac{N}{d}} = N\sum\limits_{d|N} {\frac{1}{d}}$

تمييز العدد التام الزوجي

نظرية2 (اقليدس, العناصر IX-36): إذا كان $p = 2^k - 1$ عد أولي فإن $N = 2^{k - 1} (2^k - 1)$ عدد تام.

البرهان: واضح أن قواسم N الأولية هي $2,\;2^k - 1$ فقط. إذا قواسمه الموجبة هي

$1,2,2^2 , \ldots ,2^{k - 1} ,2^k - 1,2(2^k - 1),2^2 (2^k - 1), \ldots ,2^{k - 1} (2^k - 1)$

وحيث $2^m + 2^m (2^k - 1) = 2^{m + k}$ فإن

$\sigma (N) = 2^k + 2^{k + 1} + \cdots + 2^{2k - 1} = 2^k \left( {\frac{{2^k - 1}}{{2 - 1}}} \right) = 2N$

y'' = f(y,y') ........ c

الكاتب Muhanad

$y'' = f(y,y')$

لحل هذه المعادلة سنفرض أنّ $y' =\psi$ . وبالتالي

$\begin{array}{l}\\ y'' = f(y,y') \\ \\ \psi = y' \Rightarrow \quad \underbrace {\quad \frac{{d\psi }}{{dy}}\quad }_{} = \frac{{d\psi }}{{dx}}\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{y''}}{\psi } = \underbrace {\quad \frac{{f(y,\psi )}}{\psi }\quad }_{} \Rightarrow \\ \\ \frac{{d\psi }}{{dy}} = \frac{{f(y,\psi )}}{\psi } \\ \\ \end{array}$

والمعادلة الأخيرة هي عبارة عن معادلة تغاضلية من الدرجة الأولى , نحسب منها $\psi$ .

معادلة دالامبير

الكاتب Muhanad

معادلة دالامبير "d'Alembert's equation "

$y = xf(y') + g(y')\quad$

اذا كان $f(t)=t$ في تحل كما أعلاه في معادلة كلير.

أما إذا كان $f(t) - t\ne 0$ :

نفرض أنّ:

$y' = t\quad\Rightarrow\quad y = x.f(t) + g(t)\quad\quad ^{_{_{_{_{_. } } } } }$

وبالأشتقاق نجد أنّ:

$\begin{array}{*{20}c}\frac{{dy}}{{dx}} =\frac{{d(x.f(t) + g(t))}}{{dx}}\quad\Rightarrow\\ \\ t =\frac{{f(t).dx + x.f'(t).dt + g'(t)dt}}{{dx}}\Rightarrow\\ \\ t = f(t) +\left[ {x.f'(t) + g'(t)}\right]\frac{{dt}}{{dx}}\quad\Rightarrow\quad\left[ {t - f(t)}\right]\frac{{dx}}{{dt}} =\left[ {x.f'(t) + g'(t)}\right]\quad\Rightarrow\\ \\ \frac{{dx}}{{dt}} +\frac{{f'(t)}}{{f(t) - t}}x = -\frac{{g'(t)}}{{f(t) - t}}\\ \end{array}$