$معلومات سريعة$ حدس كاتلان ينص على أن القوتين المتتاليتين هما فقط $3^2$ و $2^3$ , اي أن المعادلة $x^p-y^q=1$ ليس لها سوى حل واحد $3^2-2^3=1$ . هذا الحدس الذي قدمه الرياضي الفرنسي catalan عام 1844م استعصى على الحل لأكثر من 150 سنة قدم خلالها محاولات جزئية حتى برهن سنة 2002م من قبل الألماني الروماني المولد Mihăilescu ونشر علميا في 2004م.

$تكامل$

صفحة تعطي نتيجة^[م] فورية لمسألة التكامل, إدخال الدالة المكاملة

يتم حسب ترميز معين^[م].على سبيل المثال جاس تكتب بالشكل

$Sin [x]$ لاحظ الحرف S في وضع

Uppercase انقر هنا للإطلاع علي ترميز بقية الدوال^[م].

$معلومات سريعة$

1) استعمل حااسبة على النت

2) استعمل حاسبة أخرى مشابهه

3) حاسبة مع تحويل للوحدات

4) حاسبة لأغراض التراكيب العددية

حل الجمل (النظمة) الخطية بالمصفوفات

Solving linear system by matrices

لن نعتمد الجانب النظري أو المجاهيل في كتابة هذا الموضوع بل سـأضع مثالاً و أطبق عليه الطريقة.

هذه الطريقة صالحة من أجل $\det (A) \ne 0$ حيث A المصفوفة، لأن المصفوفة القابلة للانعكاس إذا وإذا فقط $\det (A) \ne 0$

معكوس مصفوفة

لتكن A مصفوفة معرفة كما يلي:

$A=\left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & { - 3} & 1 \\ \end{array}} \right]$

الخطوة الأولى : حساب محدد^[م] المصفوفة ، وسنختار العمود الأخير لحسابه. إذا

$\det (A) = 1 \times \left| {\begin{array}{*{20}c} 2 & 1 \\ 3 & { - 3} \\\end{array}} \right| - 0 \times \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} \\ 3 & { - 3} \\\end{array}} \right| + 1 \times \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} \\ 2 & 1 \\\end{array}} \right| = - 9 + 5 = - 4$

إذا المصفوفة قابلة لتقطير .

الخطوة الثانية : نقوم بحساب ألفة المصفوفة. إن حساب الألفة يعتمد على حساب المحدد و يمز لها بـ $\tilde A$

$\tilde A = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { + ( + 1)} & { - ( + 2)} & { + ( - 9)} \\ { - ( - 1)} & { + ( - 2)} & { - ( + 3)} \\ { + ( - 1)} & { - ( - 2)} & { + ( + 5)} \\\end{array}} \right]$

كيف تم الحساب ؟

تقطير المصفوفات

Matrix Diagonalization

تعريف 1: المصفوفة A من الحجم n×n تدعى قطورة (أو قابلة للتقطير) إذا كنت مشابهة لمصفوفة قطرية، أي إذا وجدت مصفوفة P عكوسة (قابلة للإنعكاس) بحيث أن المصفوفة $P^{ - 1} AP$ تكون مصفوفة قطرية. عملية إيجاد P تسمى تقطيراً للمصفوفة A.

قد يدور تساؤل فيما إذا كانت كل مصفوفة مربعة قطورة ، والجواب هو: لا، توجد مصفوفات^[م] لا تقبل التقطير .

مبرهنة^[م] 1: المصفوفة A من الحجم n×n تكون قطورة إذا وفقط إذا كان لديها n متجهاً ذاتياً مستقلة خطياً^[م].

البرهان:

$\Leftarrow$

لنفرض أن A قطورة، إذاً توجد مصفوفة عكوسة بحيث $D = P^{ - 1} AP$ قطرية. لتكن $\lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n$ عناصر القطر للرئيسي لـ D ، ولتكن $p _1 ,p _2 ,...,p _n$ متجهات^[م] الأعمدة لـ p ، فإن:

$PD = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _1 } & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & {\lambda _2 } & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & {\lambda _n } \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 \lambda _1 } & {p_2 \lambda _2 } & {...} & {p_n \lambda _n } \\\end{array}} \right]$

وبما أن $D = P^{ - 1} AP$ فإن $AP=PD$ مما يؤدي إلى:

العناصر الأولية والعناصر الغير قابلة للتحليل

Prime Elements and Irreducible Elements

جدول المحتويات [اخفاء]

تعريف
أمثلة
حقائق متعلقة بالحلقة التامة

تعريف

لتكن R حلقة إبدالية ذات محايد. نقول عن $p \in R$ أنه عنصر أولي prime element إذا تحقق التالي:

1. p ليس صفر ولا عنصر وحدة

2. إذا كان $a,b \in R$ بحيث $p|ab$ فإن $p|a$ أو $p|b$ .

نقول عن العنصر $q \in R$ أنه غير قابل للتحليل irreducible إذا تحقق ما يلي:

1. q ليس صفر ولا عنصر وحدة.

2. إذا كان $a,b \in R$ بحيث $q = ab$ فإما a عنصر وحدة أو b عنصر وحدة.

أمثلة

1. في الحلقة $\mathbb{Z}$ العناصر الأولية هي العناصر الغير قابلة للتحليل وهي الأعداد الأولية.

2. في الحلقة $\mathbb{Z}_8$ عمليات الضرب الممكنة للعنصر $6$ هي

$6 = 1 \otimes 6 = 2 \otimes 3 = 2 \otimes 7 = 5 \otimes 6$

لذلك $6$ غير قابل للتحليل لن كل عملية ضرب هنا تضمنت عنصر من زمرة^[م] الوحدات

$U(\mathbb{Z}_8 ) = \{ 1,3,5,7\}$

3. في الحلقة $\mathbb{Z}(\sqrt { - 3} ) = \{ a + b\sqrt { - 3} :a,b \in \mathbb{Z}\}$ العنصر $\sqrt { - 3}$ أولي وكذلك غير قابل للتحليل. إثبات هذا يحتاج إلى بعض الحسابات الجبرية الروتينية.

حقائق متعلقة بالحلقة التامة

حقيقة1: في حلقة تامة R. إذا كان p غير قابل للتحليل فإن قواسمه هي عناصر الوحدة والعناصر المتشاركة معه فقط.

الحلقة النيوثرية

الحلقة^[م] النيوثرية

Noetherian Ring

جدول المحتويات [اخفاء]

لمحة تاريخية
تعريف

لمحة تاريخية

تعد الحلقة النيوثرية جزءا هاما من الجبر بالنسبة لنظرية^[م] العدد وبالذات في فرع الهندسة الجبرية. سميت الحلقة النيوثرية نسبة للرياضية الألمانية Amalie Emmy Noether (1882م-1935م) ووالدها هو الرياضي Max Noether. اشتهرت نيوثر بعملها في فروع جبرية متعددة مثل حقول العدد وحسبان التنوع وبإسهاماتها في الفيزياء النظرية. تعد نيوثر من أشهر النساء اللاتي عملن في حقل^[م] الرياضيات وتعتبر نظرية نويثر في الفيزياء من أفضل النظريات الرياضية الدافعة لتطور الفيزاء النظرية. أيضا يعزى لها الإستخدام البارع لشرط السلسة المتصاعدة وتوظيفها للمثاليات بفعالية أكبر في الحلقات. انتقلت في أواخر حياتها تحت ضغط النازية إلى الولايات المتحدة والتحقت بإحدى الكليات هناك. للمزيد حول حياتها وأعمالها انظر http://en.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether

رياضيات , جبر الحلقة النيوثرية Noether

Noetherian Ring

تعريف

نقول عن حلقة R أنها تحقق شرط السلسلة المتصاعدة ascending chain condition واختصاره ACC إذا كانت كل سلسلة تصاعدية

$A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots$

من المثاليات في R تصبح مستقرةstationary . بمعنى يوجد عدد صحيح موجب n بحيث

$A_n = A_{n + 1} = A_{n + 2} = \ldots$

نقول عن حلقة R أنها نيوثرية Noetherian إذا كانت تحقق شرط السلسلة المتصاعدة.

إذا الحلقة النيوثرية هي التي لا تحتوي على سلسلة لا نهائية ومتصاعدة فعليا strictly ascending من المثاليات.

منطقة التحليل الوحيد

Unique Factorization Domain (UFD)

جدول المحتويات [اخفاء]

تعريف
حقائق ومبرهنات

تعريف

نقول عن حلقة^[م] تامة R أنها منطقة تحليل وحيد (م.ت.و) إذا تحقق ما يلي:

(1) كل عنصر غير صفري a يمكن كتابته كحاصل ضرب لعناصر غير قابلة للتحليل, أي على الصورة $a = ua_1 a_2 \ldots a_n$ حيث u عنصر وحدة و $a_i$ عناصر غير قابلة للتحليل و $n \geqslant 0$ .

(2) أن يكون هذا التمثيل وحيد بالنسبة للتشارك. بمعنى أنه إذا أعطيت التفريقين decompositions التاليين

$vb_1 b_2 \ldots b_m = ua_1 a_2 \ldots a_n$

حيث $u,v$ عنصري وحدة و $a_i ,\;b_i$ عناصر غير قابلة للتحليل فإن $m = n$ كما يوجد تبديلة $\pi$ على $\{ 1,2, \cdots ,n\}$ بحيث $a_i ,\;b_{\pi (i)}$ متشاركان.

ملاحظة

الشرط الثاني يبين أنه إذا كان $a = ua_1 a_2 \ldots a_n$ حيث $u$ عنصر وحدة و $a_i$ عناصر غير قابلة للتحليل فإن أي تفريق آخر للعنصر a سيكون على الشكل $vb_1 b_2 \ldots b_n$ حيث $u,v$ عنصري وحدة و $a_i ,\;b_i$ عناصر غير قابلة للتحليل يمكن إعادة ترتيبها وترقيمها بحيث يكون $a_i ,b_i$ متشاركان.

من ناحية أخرى إذا كان $a = ua_1 a_2 \ldots a_n$ تفريق للعنصر a إلى حاصل ضرب عناصر غير قابلة للتحليل $a_i$ حيث u عنصر وحدة فإننا بكتابة $a_i = u_i b_i$ حيث $a_i ,b_i$ متشاركان و $u_i$ عناصر وحدة نجد أن

$a = a = ua_1 a_2 \ldots a_n = vb_1 b_2 \ldots b_n$

حيث $v = uu_1 u_2 \ldots u_n$ عنصر وحدة. لهذا السبب فإن الشرط (2) في تعريف منطقة التحليل الوحيد هو أقوى جملة ممكنة للتعبير عن وحدانية التحليل في الحلقات.

حقائق ومبرهنات

حقيقة1: إذا كانت R منطقة تحليل وحيد وكان $p \in R$ غير قابل للتحليل فإن p أولي.

البرهان: ليكن p غير قابل للتحليل وأن $p|ab$ . إذا $ab = pc$ إذا كان a عنصر وحدة فإن $ua = 1$ لعنصر $u \in R$ وبالتالي $b = upc$ أي أن $p|b$ . بالمثل إذا كان b عنصر وحدة فإن $p|a$ . لذا نفرض أن a,b ليست عناصر وحدة. إذا

المثالية الأولية

The Prime Ideal

جدول المحتويات [اخفاء]

تعريف
أمثلة على مثاليات أولية وغير أولية
مبرهنات في المثالية الأولية

تعريف

نقول عن مثالية I من حلقة^[م] R أنها أولية إذا كانت $R \ne I$ وكان لكل مثاليتين A,B في R فإن

$AB \subset I\,\,\, \Rightarrow \,\,\,A \subset I\,\,{\text{or}}\,\,B \subset I$

أمثلة على مثاليات أولية وغير أولية

1. المثالي $I = \{ 0\}$ في حلقة تامة هو مثالي أولي لأن إذا كان $a,b \in R$ بحيث $ab \in I$ فإن $ab = 0$ وبالتالي $a = 0$ و $b = 0$ .

2. في الحلقة $\mathbb{Z}_6$ المثالية $I = \{ 0,3\}$ أولية.

3. في الحلقة $\mathbb{Z}_8$ المثالية $I = \{ 0,4\}$ غير أولية حيث $4 = 2 \otimes 2 \in I$ بينما $2 \notin I$ .

4. إذا كان p عدد أولي فإن المثالية $\left\langle p \right\rangle = \{ np:n \in \mathbb{Z}\}$ من الحلقة $\mathbb{Z}$ مثالية أولية لإثبات ذلك افرض أن a,b صحيحين بحيث $ab \in \left\langle p \right\rangle$ يكفي إثبات أن أحدهما ينتمي للمثالية. بما أن $ab \in \left\langle p \right\rangle$ فإن $ab$ مضاعف للعدد p, أي أن $p|ab$ وحيث أن p أولي فإن $p|a$ أو $p|b$ . إذا a أو b ينتمي إلى $\left\langle p \right\rangle$ .

5. في الحلقة $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ تكون $\mathbb{Z} \oplus 0 = \{ (a,0):a \in \mathbb{Z}\}$ مثالية أولية, تأكد من ذلك.

6. في الحلقة $\mathbb{Z}[x]$ المكونة من كل الحدوديات ذات المعاملات الصحيحة المثالية المولدة بواسطة $\{ 2,x\}$ مثالية أولية وتتكون من كل الحدوديات من $\mathbb{Z}[x]$ التي حدها الثابت عدد زوجي, تأكد من ذلك.

7. في الحلقة $\mathbb{Z}(\sqrt { - 5} )$ المثالية $(2)$ ليست أولية. لبيان هذا لاحظ أن

$(1 - \sqrt { - 5} )(1 - \sqrt { - 5} ) = 6 = 2 \cdot 3 \in (2)$

ولكن $1 \pm \sqrt { - 5} \notin (2)$ لأن $\frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt { - 5} }}{2} \notin \mathbb{Z}(\sqrt { - 5} )$ .

مبرهنات في المثالية الأولية

فيما يلي نقدم صيغة بسيطة تعتبر شرطا كافيا لكي تكون I أولية ولكنها بشكل عام ليست شرطا ضروريا. إذا كانت R إبدالية فإنها تصبح ضرورية وكافية لتحقق الأولية على I.

المثالية الرئيسية

Principal Ideal

جدول المحتويات [اخفاء]

تعريف المثالية المولدة بواسطة مجموعة جزئية
توصيف عناصر مثالية رئيسية

تعريف المثالية المولدة بواسطة مجموعة جزئية

لتكن R حلقة^[م] و $A \subset R$ مجموعة غير خالية و $\{ I_j :A \subset I_j \}$ عائلة جميع المثاليات (المثاليات اليسرى) في R عندئذ فإن $\cap I_j$ تسمى المثالية (المثالية اليسرى) المولدة بواسطة A ويرمز لها $(A)$ .

إذا كانت $A = \{ x_1 ,x_2 , \ldots ,x_k \}$ مجموعة منتهية فإننا نقول أن $(A)$ مثالية (مثالية يسرى) ذات مولدات منتهيةfinitely generated Ideal ونكتب

$(A) = (x_1 ,x_2 , \ldots ,x_k )$

المثالية (المثالية اليسرى) $(x)$ المولدة بواسطة عنصر واحد $x \in R$ تسمى مثالية رئيسية principal ideal (مثالية رئيسية يسرى left principal ideal).

بطريقة مشابهة تعرف المثالية اليمنى المولدة بواسطة مجموعة $A \subset R$ .

توصيف عناصر مثالية رئيسية

المبرهنة^[م] التالية تعطي الطريقة التي نعبر بها عن عنصر اختياري من مثالية رئيسية $(x)$ وذلك حسب الخواص الإضافية التي تحققها الحلقة R. نترك التحقق من جميع هذه التعابير للقارئ.

مميز الحلقة

Characteristic of Ring

جدول المحتويات [اخفاء]

تعريف
أمثلة توضيحية

تعريف

إذا كان n أصغر عدد صحيح موجب بحيث $na = 0$ لكل $a \in R$ فإننا نقول أن n مميز للحلقة^[م] R ونكتب ذلك ${\text{char}}(R) = n$ . إذا لم يوجد مثل هذا العدد n فنقول أن R لها المميز صفر ونكتب ${\text{char}}(R) = 0$ .