الكرات الغريبه ، أو لماذا فضاء البعد الرابع مكان مجنون

بقلم: ريتشارد إلوس

نقله إلى العربيه: زهره آل ناصر

المكان الذي نعيش فيه هو بالتحديد ذو ثلاثه أبعاد: أعلى / أسفل، يسار / يمين ، إلى الأمام/ إلى الخلف. هذه هي فقط طرق الإنتقال. لسنوات فكّر العلماء و كتّاب الخيال العلمي في إمكانيات فراغات الأبعاد العليا. كيف سيكون شكل العالم ذي 4 أو 5 أبعاد؟

مجموعة ماث رمز لحل المسائل

لقد انتقلت الصفحة إلى

http://www.mathramz.com/mrpsg/a_index.shtml

English

http://www.mathramz.com/mrpsg

تعليق واحد

البرمجة الخطية

Linear Programming

البرمجة الخطية هي فرع من الاستمثال الرياضي وهذا الفرع يبحث في إيجاد النقاط المثلى لدالة معينة وفق قيود (constraints) معينة.
البرمجة الخطية هي حالة خاصة جداً بحيث أن الدالة هي خطية والقيود عبارات عن متراجحات خطية .
ولها تطبيقات كثيرة ،
مثلاً في متغيرين $x_1,x_2$ نريد أن نجد أصغر قيمة للمقدار $c_1x_1 + c_2 x_2$ ولكن بشرط أن يحقق الحل المتراجحات التالية:

$\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2 \leq b_1 \\a_{21}x_1+a_{22}x_2 \leq b_2 \\a_{31}x_1+a_{32}x_2 \leq b_3\end{array}$

في حالة متغيرين في مجموعة حل نظام المتراجحات تكون عادة محددة بمضلع ما . والمبرهنة الرئيسة للبرمجة الخطية هي أن النقطة المثلى (إن وجدت) هي أحد رؤوس المضلع!

يمكن تعميمها لـ n من المتغيرات بـ m من المتراجحات .
لتكن $c,x \in \mathbb R^n , b \in \mathbb R^m, A \in \mathbb R^{m \times n}$

فإن مسألة البرمجة الخطية تصاغ بالشكل المصفوفي المختصر:

$\begin{array}{ll}\mbox{minimize} & c^T x \\ \mbox{subject to} & Ax \leq b \end{array}$

تكون مجموعة حل نظام المتباينات عبارة فوق-مسطح polytope في الفضاء $\mathbb R^n$ ، وتكون النقطة المثلى إن وجدت أحد رؤوس فوق-المسطح.
وتسمى هذه المنطقة المحصورة بالمسطح بالمجموعة الممكنة feasible set ، وإن كانت المجموعة خالية فإن المسألة غير ممكنة infeasible .

لذا يجب البحث عن النقطة المثلى عبر رؤوس هذا المسطح والتي قد يكون عددها كبيراً عندما تكون n بالمئات أو الآلاف.

الحلقة النيوثرية

Noetherian Ring

لمحة تاريخية

تعد الحلقة النيوثرية جزءا هاما من الجبر بالنسبة لنظرية العدد وبالذات في فرع الهندسة الجبرية. سميت الحلقة النيوثرية نسبة للرياضية الألمانية Amalie Emmy Noether (1882م-1935م) ووالدها هو الرياضي Max Noether. اشتهرت نيوثر بعملها في فروع جبرية متعددة مثل حقول العدد وحسبان التنوع وبإسهاماتها في الفيزياء النظرية. تعد نيوثر من أشهر النساء اللاتي عملن في حقل الرياضيات وتعتبر نظرية نويثر في الفيزياء من أفضل النظريات الرياضية الدافعة لتطور الفيزاء النظرية. أيضا يعزى لها الإستخدام البارع لشرط السلسة المتصاعدة وتوظيفها للمثاليات بفعالية أكبر في الحلقات. انتقلت في أواخر حياتها تحت ضغط النازية إلى الولايات المتحدة والتحقت بإحدى الكليات هناك. للمزيد حول حياتها وأعمالها انظر http://en.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether

رياضيات , جبر الحلقة النيوثرية Noether

Noetherian Ring

تعريف

نقول عن حلقة R أنها تحقق شرط السلسلة المتصاعدة ascending chain condition واختصاره ACC إذا كانت كل سلسلة تصاعدية

$A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots$

من المثاليات في R تصبح مستقرةstationary . بمعنى يوجد عدد صحيح موجب n بحيث

$A_n = A_{n + 1} = A_{n + 2} = \ldots$

نقول عن حلقة R أنها نيوثرية Noetherian إذا كانت تحقق شرط السلسلة المتصاعدة.

إذا الحلقة النيوثرية هي التي لا تحتوي على سلسلة لا نهائية ومتصاعدة فعليا strictly ascending من المثاليات.

المثالية الأولية

The Prime Ideal

تعريف

نقول عن مثالية I من حلقة R أنها أولية إذا كانت $R \ne I$ وكان لكل مثاليتين A,B في R فإن

$AB \subset I\,\,\, \Rightarrow \,\,\,A \subset I\,\,{\text{or}}\,\,B \subset I$

أمثلة على مثاليات أولية وغير أولية

1. المثالي $I = \{ 0\}$ في حلقة تامة هو مثالي أولي لأن إذا كان $a,b \in R$ بحيث $ab \in I$ فإن $ab = 0$ وبالتالي $a = 0$ و $b = 0$ .

2. في الحلقة $\mathbb{Z}_6$ المثالية $I = \{ 0,3\}$ أولية.

3. في الحلقة $\mathbb{Z}_8$ المثالية $I = \{ 0,4\}$ غير أولية حيث $4 = 2 \otimes 2 \in I$ بينما $2 \notin I$ .

4. إذا كان p عدد أولي فإن المثالية $\left\langle p \right\rangle = \{ np:n \in \mathbb{Z}\}$ من الحلقة $\mathbb{Z}$ مثالية أولية لإثبات ذلك افرض أن a,b صحيحين بحيث $ab \in \left\langle p \right\rangle$ يكفي إثبات أن أحدهما ينتمي للمثالية. بما أن $ab \in \left\langle p \right\rangle$ فإن $ab$ مضاعف للعدد p, أي أن $p|ab$ وحيث أن p أولي فإن $p|a$ أو $p|b$ . إذا a أو b ينتمي إلى $\left\langle p \right\rangle$ .

5. في الحلقة $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ تكون $\mathbb{Z} \oplus 0 = \{ (a,0):a \in \mathbb{Z}\}$ مثالية أولية, تأكد من ذلك.

6. في الحلقة $\mathbb{Z}[x]$ المكونة من كل الحدوديات ذات المعاملات الصحيحة المثالية المولدة بواسطة $\{ 2,x\}$ مثالية أولية وتتكون من كل الحدوديات من $\mathbb{Z}[x]$ التي حدها الثابت عدد زوجي, تأكد من ذلك.

7. في الحلقة $\mathbb{Z}(\sqrt { - 5} )$ المثالية $(2)$ ليست أولية. لبيان هذا لاحظ أن

$(1 - \sqrt { - 5} )(1 - \sqrt { - 5} ) = 6 = 2 \cdot 3 \in (2)$

ولكن $1 \pm \sqrt { - 5} \notin (2)$ لأن $\frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt { - 5} }}{2} \notin \mathbb{Z}(\sqrt { - 5} )$ .

مبرهنات في المثالية الأولية

فيما يلي نقدم صيغة بسيطة تعتبر شرطا كافيا لكي تكون I أولية ولكنها بشكل عام ليست شرطا ضروريا. إذا كانت R إبدالية فإنها تصبح ضرورية وكافية لتحقق الأولية على I.

المثالية الرئيسية

Principal Ideal

تعريف المثالية المولدة بواسطة مجموعة جزئية

لتكن R حلقة و $A \subset R$ مجموعة غير خالية و $\{ I_j :A \subset I_j \}$ عائلة جميع المثاليات (المثاليات اليسرى) في R عندئذ فإن $\cap I_j$ تسمى المثالية (المثالية اليسرى) المولدة بواسطة A ويرمز لها $(A)$ .

إذا كانت $A = \{ x_1 ,x_2 , \ldots ,x_k \}$ مجموعة منتهية فإننا نقول أن $(A)$ مثالية (مثالية يسرى) ذات مولدات منتهيةfinitely generated Ideal ونكتب

$(A) = (x_1 ,x_2 , \ldots ,x_k )$

المثالية (المثالية اليسرى) $(x)$ المولدة بواسطة عنصر واحد $x \in R$ تسمى مثالية رئيسية principal ideal (مثالية رئيسية يسرى left principal ideal).

بطريقة مشابهة تعرف المثالية اليمنى المولدة بواسطة مجموعة $A \subset R$ .

توصيف عناصر مثالية رئيسية

المبرهنة التالية تعطي الطريقة التي نعبر بها عن عنصر اختياري من مثالية رئيسية $(x)$ وذلك حسب الخواص الإضافية التي تحققها الحلقة R. نترك التحقق من جميع هذه التعابير للقارئ.

مميز الحلقة

Characteristic of Ring

تعريف

إذا كان n أصغر عدد صحيح موجب بحيث $na = 0$ لكل $a \in R$ فإننا نقول أن n مميز للحلقة R ونكتب ذلك ${\text{char}}(R) = n$ . إذا لم يوجد مثل هذا العدد n فنقول أن R لها المميز صفر ونكتب ${\text{char}}(R) = 0$ .

لاحظ أنه إذا كانت $R \ne 0$ ذات مميز $n > 0$ فإن $n > 1$ لأنه إذا كان $a \ne 0$ عنصر من R فإن

$1a = a \ne 0$

أمثلة توضيحية

1. في الحلقة $\mathbb{Z}_4$ نجد أن ${\text{char}}(\mathbb{Z}_4 ) = 4$ لأن $4$ أصغر عدد يحقق $na = 0$ لكل a في $\mathbb{Z}_4$ .

جذور الوحدة في الحقول

Roots of Unity in Fields

تعريف

ليكن K حقل. الجذر النوني للوحدة the nth root of unity هو عنصر $\omega \in K$ بحيث $\omega ^n = 1$ . إذا كان n هو أصغر صحيح موجب بحيث $\omega ^n = 1$ فإننا نقول أن $\omega$ جذر نوني بدائي للوحدة nth primitive root of unity.

إذا جذر الوحدة النوني في حقل K هو باختصار جذر الحدودية $x^n - 1$ . من النظرية الأساسية في الجبر $x^n - 1$ لها n جذرا في حقل الأعداد المركبة مع أخذ الجذور المركبة في الاعتبار لكن هذا ليس قانونا في كل الحقول فقد يكون عدد الجذور أقل من n كما يتضح من الأمثله التالية لكن لا يمكن أن يزيد عن n في أي حقل.

أمثلة على جذور الوحدة

1) في حقل الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$ فإن $\pm 1$ هما فقط الجذريين المحتملة لأي حدودية $x^n - 1$ . في حالة $x^2 - 1$ فإن $\omega = 1$ جذرا ثاني للوحدة لكنه غير بدائي بينما $\omega = - 1$ جذر ثاني بدائي. أما في حالة $x^3 - 1$ فإن $\omega = 1$ هو فقط الجذر الثالث للوحدة في $\mathbb{R}$ وهو ليس بدائي.