تقطير المصفوفات

Matrix Diagonalization

تعريف 1: المصفوفة A من الحجم n×n تدعى قطورة (أو قابلة للتقطير) إذا كنت مشابهة لمصفوفة قطرية، أي إذا وجدت مصفوفة P عكوسة (قابلة للإنعكاس) بحيث أن المصفوفة $P^{ - 1} AP$ تكون مصفوفة قطرية. عملية إيجاد P تسمى تقطيراً للمصفوفة A.

قد يدور تساؤل فيما إذا كانت كل مصفوفة مربعة قطورة ، والجواب هو: لا، توجد مصفوفات لا تقبل التقطير .

مبرهنة 1: المصفوفة A من الحجم n×n تكون قطورة إذا وفقط إذا كان لديها n متجهاً ذاتياً مستقلة خطياً.

البرهان:

$\Leftarrow$

لنفرض أن A قطورة، إذاً توجد مصفوفة عكوسة بحيث $D = P^{ - 1} AP$ قطرية. لتكن $\lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n$ عناصر القطر للرئيسي لـ D ، ولتكن $p _1 ,p _2 ,...,p _n$ متجهات الأعمدة لـ p ، فإن:

$PD = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _1 } & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & {\lambda _2 } & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & {\lambda _n } \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 \lambda _1 } & {p_2 \lambda _2 } & {...} & {p_n \lambda _n } \\ \end{array}} \right]$

وبما أن $D = P^{ - 1} AP$ فإن $AP=PD$ مما يؤدي إلى:

$\left[ {\begin{array}{*{20}c} {Ap_1 } & {Ap_2 } & {...} & {Ap_n } \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _1 p_1 } & {\lambda _2 p_2 } & {...} & {\lambda _n p_n } \\ \end{array}} \right]$

بعبارة أخرى فإن $Ap_i=\lambda_i p_i$ لكل متجه عمود $p_i$ . وهذا بكل بساطة يعني أن المتجهات $p_i$ عبارة متجهات ذاتية لـ A. ولكن بما أن P عكوسة لذا فإن أعمدتها مستقلة ذاتياً، أي مجموعة المتجهات الذاتية مستقلة خطياً.

$\Rightarrow$

لنفرض أنه يوجد n متجهاً ذاتياً مستقلة خطياً لـ A . لنن هذه المتجهات الذاتية هي $p _1 ,p _2 ,...,p _n$ وقيمها الذاتية $\lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n$ . لنعرف المصفوفة P على الشكل: $P = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\\end{array}} \right]$ . ولكن بما أن كل $p_i$ هو متجه ذاتي لـ A ، لذا فإن $Ap_i=\lambda_i p_i$ و:

$AP = A\left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\ \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _1 p_1 } & {\lambda _2 p_2 } & {...} & {\lambda _n p_n } \\ \end{array}} \right]$

الطرف الأيمن من المعادلة يمكن أن يكتب الشكل التالي:

$AP = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _1 } & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & {\lambda _2 } & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & {\lambda _n } \\ \end{array}} \right] = PD$

وبما أن $p _1 ,p _2 ,...,p _n$ مستقلة خطياً ، لذا فإن P عكوسة وبذلك نحصل على: $D = P^{ - 1} AP$ ، أي أن A قطورة. $_\blacksquare$

إن المبرهنة 1 توفر لنا طريقة واضحة لكيفية تقطير المصفوفة A ، وذلك من خلال الخطوات التالية:

(1) أوجد n متجهاً ذاتياً مستقلة خطياً $p _1 ,p _2 ,...,p _n$ مع قيمها الذاتية $\lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n$ . إذا كانت هذه المجموعة من المتجهات الذاتية غير موجودة فإنه لا يمكن تقطير A.
(2) كون المصفوفة P بحيث $P = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {p_1 } & {p_2 } & {...} & {p_n } \\\end{array}} \right]$ .
(3) المصفوفة القطرية $D = P^{ - 1} AP$ ستكون عناصر قطرها الرئيسي هي $\lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n$ .

(تحت الإنشاء)

المراجع:

[1] T. Apostol, Linear Algebra, Wiley-Interscience, 1997. (اضغط هنا)

[2] K. Hoffman and R. Kunze, Linear Algebra, 2nd ed., Prentice Hall, 1971. (اضغط هنا)

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

تقطير المصفوفات

التعليقات

People in all countries

اين

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة