جذور الوحدة في الحقول

Roots of Unity in Fields

تعريف

ليكن K حقل. الجذر النوني للوحدة the nth root of unity هو عنصر $\omega \in K$ بحيث $\omega ^n = 1$ . إذا كان n هو أصغر صحيح موجب بحيث $\omega ^n = 1$ فإننا نقول أن $\omega$ جذر نوني بدائي للوحدة nth primitive root of unity.

إذا جذر الوحدة النوني في حقل K هو باختصار جذر الحدودية $x^n - 1$ . من النظرية الأساسية في الجبر $x^n - 1$ لها n جذرا في حقل الأعداد المركبة مع أخذ الجذور المركبة في الاعتبار لكن هذا ليس قانونا في كل الحقول فقد يكون عدد الجذور أقل من n كما يتضح من الأمثله التالية لكن لا يمكن أن يزيد عن n في أي حقل.

أمثلة على جذور الوحدة

1) في حقل الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$ فإن $\pm 1$ هما فقط الجذريين المحتملة لأي حدودية $x^n - 1$ . في حالة $x^2 - 1$ فإن $\omega = 1$ جذرا ثاني للوحدة لكنه غير بدائي بينما $\omega = - 1$ جذر ثاني بدائي. أما في حالة $x^3 - 1$ فإن $\omega = 1$ هو فقط الجذر الثالث للوحدة في $\mathbb{R}$ وهو ليس بدائي.

2) في حقل الأعداد المركبة $\mathbb{C}$ فإن $\omega = \cos (2\pi /n) + i\sin (2\pi /n)$ جذر نوني للعدد 1 لأن

$\left( {\cos \frac{{2\pi }}{n} + i\sin \frac{{2\pi }}{n}} \right)^n = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1$

بما أن جميع $\omega ,\omega ^2 , \cdots ,\omega ^n$ مختلفة (وهي تمثل جميع الجذور النونية للعدد 1) فإن n هو أصغر صحيح موجب بحيث $\omega ^n = 1$ وعليه فإن $\omega$ جذر نوني بدائي للوحدة. هندسيا هذه الجذور النونية للوحدة تشكل في المستوى المركب رؤوس مضلع منتظم محاط بدائرة نصف قطرها الوحدة.

بشكل عام في حقل الأعداد المركبة:

جميع الجذور النونية البدائية للوحدة تكون على الصورة $\omega ^m$ حيث $(m,n) = 1$ .

لأنه إذا كان $t > 1$ قاسم مشترك للعددين m,n فإن $n = qt$ وبالتالي $(\omega ^m )^q = \omega ^m ^q = 1$ لأن mq مضاعف للعدد n. إذا $\omega ^m$ غير بدائي لأن $q < n$ . عكسيا إذا كان $(m,n) = 1$ وكان $q \le n$ بحيث $(\omega ^m )^q = 1$ فاكتب $mq = na + r$ حيث r باقي قسمة mq على n. إذا