جذور الوحدة في الحقول

Roots of Unity in Fields

تعريف

ليكن K حقل^[م]. الجذر النوني للوحدة the nth root of unity هو عنصر $\omega \in K$ بحيث $\omega ^n = 1$ . إذا كان n هو أصغر صحيح موجب بحيث $\omega ^n = 1$ فإننا نقول أن $\omega$ جذر نوني بدائي للوحدة nth primitive root of unity.

إذا جذر الوحدة النوني في حقل K هو باختصار جذر الحدودية $x^n - 1$ . من النظرية^[م] الأساسية في الجبر $x^n - 1$ لها n جذرا في حقل الأعداد المركبة مع أخذ الجذور المركبة في الاعتبار لكن هذا ليس قانونا في كل الحقول فقد يكون عدد الجذور أقل من n كما يتضح من الأمثله التالية لكن لا يمكن أن يزيد عن n في أي حقل.

أمثلة على جذور الوحدة

1) في حقل الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$ فإن $\pm 1$ هما فقط الجذريين المحتملة لأي حدودية $x^n - 1$ . في حالة $x^2 - 1$ فإن $\omega = 1$ جذرا ثاني للوحدة لكنه غير بدائي بينما $\omega = - 1$ جذر ثاني بدائي. أما في حالة $x^3 - 1$ فإن $\omega = 1$ هو فقط الجذر الثالث للوحدة في $\mathbb{R}$ وهو ليس بدائي.

2) في حقل الأعداد المركبة $\mathbb{C}$ فإن $\omega = \cos (2\pi /n) + i\sin (2\pi /n)$ جذر نوني للعدد 1 لأن

$\left( {\cos \frac{{2\pi }}{n} + i\sin \frac{{2\pi }}{n}} \right)^n = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1$

بما أن جميع $\omega ,\omega ^2 , \cdots ,\omega ^n$ مختلفة (وهي تمثل جميع الجذور النونية للعدد 1) فإن n هو أصغر صحيح موجب بحيث $\omega ^n = 1$ وعليه فإن $\omega$ جذر نوني بدائي للوحدة. هندسيا هذه الجذور النونية للوحدة تشكل في المستوى المركب رؤوس مضلع منتظم محاط بدائرة^[م] نصف قطرها الوحدة.

بشكل عام في حقل الأعداد المركبة:

جميع الجذور النونية البدائية للوحدة تكون على الصورة $\omega ^m$ حيث $(m,n) = 1$ .

لأنه إذا كان $t > 1$ قاسم مشترك للعددين m,n فإن $n = qt$ وبالتالي $(\omega ^m )^q = \omega ^m ^q = 1$ لأن mq مضاعف للعدد n. إذا $\omega ^m$ غير بدائي لأن $q < n$ . عكسيا إذا كان $(m,n) = 1$ وكان $q \le n$ بحيث $(\omega ^m )^q = 1$ فاكتب $mq = na + r$ حيث r باقي قسمة mq على n. إذا

$1 = \omega ^m ^q = \omega ^{na + r} = \omega ^r$

بما أن $\omega$ جذر بدائي فإن $r = 0$ وبالتالي $mq = na$ وهذا يقتضي أن n يقسم q. إذا $q = n$ .

المجموعة U لكل الجذور النونية للوحدة في $\mathbb{C}$ تشكل زمرة^[م] جزئية دائرية من $\mathbb{C}^ \times$ الزمرة الضربية للحقل $\mathbb{C}$ .

الإثبات سهل ومباشر حيث لكل $\omega ^i ,\omega ^j \in U$ فإن

$\omega ^i \omega ^j = \omega ^{i + j} = \omega ^r ,\;\;i + j \equiv r(\bmod n)$

وأي جذر نوني بدائي للوحدة يولد هذه الزمرة.

مراجع

ALGEBRA, Thomas W. Hungerford

http://mathworld.wolfram.com/CyclotomicPolynomial.html

نبذة عن كاتب الموضوعغير متوفر

طيب ممكن اعرف قاعدة الجذوور

قدم بواسطة Anonymous في اثنين, 12/28/2009 - 20:21

طيب ممكن اعرف قاعدة الجذوور النونيه ومشكوور/ه جداً

رد

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <em> <strong> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <thead> <tr> <td>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.