متطابقات الدوال المثلثية

تعريف الدوال المثلثية

لدينا مثلث قائم ABC المبين في الشكل المجاور. تعرف الدوال المثلثلية للزاوية الحادة $\theta$ على النحو التالي

جا هـ = النسبة بين الضلع المقابل للزاوية هـ والوتر

جتا هـ = النسبة بين الضلع المجاور للزاوية هـ والوتر

ظا هـ = النسبة بين الضلع المقابل للزاوية هـ والضلع المجاور لها أو بأنها حاصل قسمة جاهـ على جتا هـ

قتا هـ (قاطع جا ) = مقلوب جا هـ , النسبة بين الوتر والضلع المقابل للزاوية هـ

قا هـ (قاطع جتا ) = مقلوب جتا هـ , النسبة بين الوتر والضلع المجاور للزاوية هـ

ظتا هـ (قاطع ظا ) = مقلوب ظا هـ , النسبة بين الضلع المجاور للزاوية هـ والضلع المقابل لها
أو بأنها حاصل قسمة جتاهـ على جا هـ

$النسب المثلثية$

$\sin \theta = \frac{a}{h},\quad \cos \theta = \frac{b}{h},\quad \tan \theta = \frac{a}{b},\quad \csc \theta = \frac{h}{a},\quad \sec \theta = \frac{h}{b},\quad \cot \theta = \frac{b}{a}$

تعريف الدوال الدائرية

هنا أسلوب آخر لتعريف الدوال المثلثية عن طريق دائرة الوحدة (الدائرة التي مركزها نقطة أصل المحورين في المستوي ونصف قطرها الوحدة) حيث يسمح بتمديد قيمة الزاوية لتشمل أي عدد حقيقي وعادة ما تسمى الدوال السابقة في هذه الحالة " الدوال الدائرية" والبعض يبقى على مسمى الدوال المثلثية. خصائص التناسب تجعل هذا التعريف مكافئ للتعريف السابق عند الاقتصار على الزوايا الحادة موجبة القياس.

إذا كان رأس الزاوية على أصل المحورين وضلعها الابتدائي على الجزء الموجب من المحور الأفقي (وهذا يسمى الوضع القياسي للزاوية) وكان ضلعها الثاني يقطع دائرة الوحدة عند النقطة $(x,y)$ فإننا نعرف الدوال الدائرية على النحو التالي:

$\cos \theta = x\quad \quad \quad \tan \theta = \frac{y}{x}\quad (x \ne 0),\quad {\kern 1pt} \quad \quad \sec \theta = \frac{1}{x}\quad (x \ne 0)$

$\sin \theta = y\quad \quad \quad \cot \theta = \frac{x}{y}\quad (y \ne 0),\quad {\kern 1pt} \quad \quad \csc \theta = \frac{1}{y}\quad (y \ne 0)$

جذور الدوال المثلثية

كلا من الدالة sin و cos دورية بدوره طولها $2\pi$ ولكل واحدة منهما جذرين في الدورة الواحدة وبشكل عام فإن :

$\begin{array}{l} \cos \theta = 0\quad \Leftrightarrow \quad \theta = \frac{\pi }{2} + n\pi \quad (n \in Z) \\ \sin \theta = 0\quad \Leftrightarrow \quad \theta = n\pi \quad (n \in Z) \\ \end{array}$

من خلال تعريف الدالة tan فإن $\tan \theta = \frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta }}$ وباتالي جذورها نفس جذور دالة sin لذلك

$\tan \theta = 0\quad \Leftrightarrow \quad \sin \theta = 0\quad \Leftrightarrow \quad \theta = n\pi \quad (n \in Z)$

باستبدال x,y بالدالتين cos , sin نستطيع تقديم صورة أخرى أكثر فائدة للدوال السابقة كما يلي:

$\sec \theta = \frac{1}{{\cos \theta }}\quad (\theta \ne \frac{\pi }{2} + n\pi )\quad \quad \tan \theta = \frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta }}\quad (\theta \ne \frac{\pi }{2} + n\pi )$

$\csc \theta = \frac{1}{{\sin \theta }}\quad (\theta \ne n\pi )\quad \quad \quad \quad \cot \theta = \frac{{\cos \theta }}{{\sin \theta }}\quad (\theta \ne n\pi )$

متطابقات أساسية

$\begin{array}{l} \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \\ \tan ^2 x + 1 = \sec ^2 x \\ \cot ^2 x + 1 = \csc ^2 x \\ \end{array}$

متطابقات التبسيط

$\begin{array}{*{20}c} {\sin (\theta + 2n\pi ) = \sin \theta \quad } \hfill & {\sin (\theta \pm \pi ) = - \sin \theta \quad } \hfill & {\sin (\theta \pm {\textstyle{\pi \over 2}}) = \pm \cos \theta } \hfill \\ {\cos (\theta + 2n\pi ) = \cos \theta \quad } \hfill & {\cos (\theta \pm \pi ) = - \cos \theta \quad } \hfill & {\cos (\theta \pm {\textstyle{\pi \over 2}}) = \mp \sin \theta } \hfill \\ \end{array}$

وبالتالي فإنه لكل $\theta \ne {\textstyle{\pi \over 2}} + n\pi$ فإن

$\begin{array}{*{20}c} {\tan (\theta + 2n\pi ) = \tan \theta \quad } & {\tan (\theta \pm \pi ) = \tan \theta \quad } & {\tan (\theta \pm {\textstyle{\pi \over 2}}) = - \cot \theta } \\ \end{array}\quad$

متطابقات ضعف الزاوية

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = \frac{{2\tan \theta }}{{1 + \tan ^2 \theta }},\quad \quad \quad \tan 2\theta = \frac{{2\tan \theta }}{{1 - \tan ^2 \theta }}$

$\cos 2\theta = \cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta = 2\cos ^2 \theta - 1,\quad \cot 2\theta = \frac{{\cot \theta - \tan \theta }}{2} = \frac{{1 - \tan ^2 \theta }}{{1 + \tan ^2 \theta }}$

متطابقات نصف الزاوية

$\sin ^2 \frac{\theta }{2} = \frac{{1 - \cos \theta }}{2}\quad or\quad \sin \frac{\theta }{2} = \pm \,\sqrt {\frac{{1 - \cos \theta }}{2}}$

$\cos ^2 \frac{\theta }{2} = \frac{{1 + \cos \theta }}{2}\quad or\quad \cos \frac{\theta }{2} = \pm \,\sqrt {\frac{{1 + \cos \theta }}{2}}$

$\tan ^2 \frac{\theta }{2} = \frac{{1 - \cos \theta }}{{1 + \cos \theta }}\quad or\quad \tan \frac{\theta }{2} = \csc \theta - \cot \theta$

$\tan ^2 \frac{\theta }{2} = \frac{{1 + \cos \theta }}{{1 - \cos \theta }}\quad or\quad \cot \frac{\theta }{2} = \csc \theta + \cot \theta$

متطابقات ثلاثة أمثال الزاوية

$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin ^3 x$

$\cos 3x = 4\cos ^3 x - 3\cos x$

$\tan 3x = \frac{{3\tan x - \tan ^3 x}}{{1 - 3\tan ^2 x}}$

متطابقات المجموع والفرق بين زاويتين

$\begin{array}{l} \sin (x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y \\ \sin (x - y) = \sin x\cos y - \cos x\sin y \\ \cos (x + y) = \cos x\cos y - \sin x\sin y \\ \cos (x - y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y \\ \end{array}$

$\tan (x + y) = \frac{{\tan x + \tan y}}{{1 - \tan x\tan y}}$

$\tan (x - y) = \frac{{\tan x - \tan y}}{{1 + \tan x\tan y}}$

متطابقات التحويل من ضرب إلى جمع

$\cos A\cos B = \frac{{\cos (A - B) + \cos (A + B)}}{2}$

$\sin A\sin B = \frac{{\cos (A - B) - \cos (A + B)}}{2}$

$\sin A\cos B = \frac{{\sin (A + B) + \sin (A - B)}}{2}$

متطابقات التحويل من جمع إلى ضرب

$\sin A + \sin B = 2\sin \left( {{\textstyle{{A + B} \over 2}}} \right)\cos \left( {{\textstyle{{A - B} \over 2}}} \right)$

$\cos A + \cos B = 2\cos \left( {{\textstyle{{A + B} \over 2}}} \right)\cos \left( {{\textstyle{{A - B} \over 2}}} \right)$

$\cos A - \cos B = - 2\sin \left( {{\textstyle{{A + B} \over 2}}} \right)\sin \left( {{\textstyle{{A - B} \over 2}}} \right)$

$\sin A - \sin B = 2\cos \left( {{\textstyle{{A + B} \over 2}}} \right)\sin \left( {{\textstyle{{A - B} \over 2}}} \right)$

علاقة الدوال المثلثية بالأعداد المركبة

1) صيغة ديموافر de Moivre's حيث i هي الوحدة التخيلية, وهو عدد مركب يحقق $i^2 = - 1$

$(\cos \theta + i\sin \theta )^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$

2) متطابقة أويلر

$e^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta ,\quad \quad e^{ - i\theta } = \cos ( - \theta ) + i\sin ( - \theta )$

3) بالجمع مرة وبالطرح مرة مع تذكر أن $\cos ( - \theta ) = \cos \theta ,\quad \sin ( - \theta ) = \sin \theta$ نحصل على صيغة للدوال المثلثية بدلالة الدالة الأسية

$\cos \theta = \frac{{e^{i\theta } + e^{ - i\theta } }}{2}\:,\quad \quad \sin \theta = \frac{{e^{i\theta } - e^{ - i\theta } }}{{2i}}$

متطابقات تخفيض قوى الدوال المثلثية

$\sin ^2 \theta = \frac{{1 - \cos 2\theta }}{2},\quad \quad \quad \sin ^3 \theta = \frac{{3\sin \theta - \sin 3\theta }}{4}$

$\cos ^2 \theta = \frac{{1 + \cos 2\theta }}{2},\quad \quad \quad \cos ^3 \theta = \frac{{3\cos \theta + \cos 3\theta }}{4}$

$\sin ^2 \theta \cos ^2 \theta = \frac{{1 - \cos 4\theta }}{8},\quad \sin ^3 \theta \cos ^3 \theta = \frac{{3\sin 2\theta - \sin 6\theta }}{{32}}$

$\sin ^4 \theta = \frac{{3 - 4\cos 2\theta + \cos 4\theta }}{8},\quad \quad \quad \sin ^5 \theta = \frac{{10\sin \theta - 5\sin 3\theta + \sin 5\theta }}{{16}}$

$\cos ^4 \theta = \frac{{3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta }}{8},\quad \quad \quad \cos ^5 \theta = \frac{{10\cos \theta + 5\cos 3\theta + \cos 5\theta }}{{16}}$

$\sin ^4 \theta \cos ^4 \theta = \frac{{3 - 4\cos 4\theta + \cos 8\theta }}{{128}},\quad \sin ^5 \theta \cos ^5 \theta = \frac{{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta }}{{512}}$

متطابقات مجموع ثلاث زوايا

$\sin A + \sin B + \sin C - \sin (A + B + C) = 4\sin \left( {{\textstyle{{A + B} \over 2}}} \right)\sin \left( {{\textstyle{{B + C} \over 2}}} \right)\sin \left( {{\textstyle{{C + A} \over 2}}} \right)$

$\cos A + \cos B + \cos C - \cos (A + B + C) = 4\cos \left( {{\textstyle{{A + B} \over 2}}} \right)\cos \left( {{\textstyle{{B + C} \over 2}}} \right)\cos \left( {{\textstyle{{C + A} \over 2}}} \right)$

مجاميع مثلثية

$\begin{array}{l} \sin n\theta = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right)} \cos ^k \theta \,\sin ^{n - k} \theta \,\sin \left( {\frac{1}{2}(n - k)\pi } \right) \\ \cos n\theta = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right)} \cos ^k \theta \,\sin ^{n - k} \theta \,\cos \left( {\frac{1}{2}(n - k)\pi } \right) \\ \end{array}$

$\sin \alpha + \sin (\alpha + \theta ) + \sin (\alpha + 2\theta ) + \cdots + \sin (\alpha + n\theta ) = \frac{{\sin \left( {\frac{{(n + 1)\theta }}{2}} \right)\sin (\alpha + \frac{{n\theta }}{2})}}{{\sin \frac{\theta }{2}}}$

$\cos \alpha + \cos (\alpha + \theta ) + \cos (\alpha + 2\theta ) + \cdots + \cos (\alpha + n\theta ) = \frac{{\sin \frac{{(n + 1)\theta }}{2}\cos (\alpha + \frac{{n\theta }}{2})}}{{\sin \frac{\theta }{2}}}$

حالة خاصة

$1 + 2\cos \theta + 2\cos 2\theta + 2\cos 3\theta + \cdots + 2\cos n\theta = \frac{{\sin \left( {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)\theta } \right)}}{{\sin (\theta /2)}}$

علاقات تكرارية

$\tan n\theta = \frac{{\tan \left( {\left( {n - 1} \right)\theta } \right) + \tan \theta }}{{1 - \tan \left( {\left( {n - 1} \right)\theta } \right)\tan \theta }}$

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي