تعريف حلقة الحدوديات

Definition of Polynomials Rings

تعريف حلقة الحدوديات

لتكن R حلقة. الحدودية على R في x هي تعبير رياضي على الشكل

$P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0$

حيث $n \ge 0$ عدد صحيح و $a_i$ عناصر في R وتسمى معاملات $P(x)$ والرمز x يدعى الغير معين the indeterminate. إذا كنت مهتم بمعرفة الأساس الرياضي خلف هذا التعبير للحدودية انظر

تتساوي الحدوديتين

$\begin{array}{l} P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \\ Q(x) = b_m x^m + b_{m - 1} x^{m - 1} + \ldots + b_1 x + b_0 \\ \end{array}$

إذا كان $a_i = b_i$ . (هنا نضع $a_i = 0$ عندما $i > n$ و $b_i = 0$ عندما $i > m$ ).

إذا كانت $R[x]$ مجموعة جميع الحدوديات على الحلقة R فإن $R[x]$ حلقة تحت عمليتي الجمع والضرب المعرفة بالشكل الطبيعي التالي حيث $m \ge n$ :

$\sum\limits_{k = 0}^n {a_k x^k } + \sum\limits_{k = 0}^m {b_k x^k } =\sum\limits_{k = 0}^m {(a_k + b_k )x^k } ,\quad (a_i = 0\;{\rm{for all }}i > n)$

$\left( {\sum\limits_{k = 0}^n {a_k x^k } } \right)\left( {\sum\limits_{k = 0}^m {b_kx^k } } \right) = \sum\limits_{k = 0}^{m + n} {c_k x^k }$

حيث

$c_n = \sum\limits_{i + j = n}^{} {a_i b_j } = a_0 b_n + a_1 b_{n - 1} + \cdots + a_{n - 1} b_1 + a_n b_0 = \sum\limits_{i = 0}^n {a_i b_{n - i} }$

التطبيق الذي يرسل العنصر $a \in R$ إلى الحدودية الثابتة $f(x) = a$ عبارة عن تشاكل أحادي ولذلك نعتبر R كحلقة جزئية من $R[x]$ . هذه الحلقة الجزئية عناصرها بالضبط كل الحدوديات الثابتة.

حقيقة1: لتكن R حلقة.

1. الحلقة $R[x]$ لها محايد إذا وإذا فقط R لها محايد.

2. الحلقة $R[x]$ إبدالية إذا وإذا فقط R إبدالية.

البرهان: نثبت الفقرة 1. والفقرة 2. تتم بصورة رتيبة.

واضح انه إذا كان $1_R$ محايد في R فإن $P(x) = 1_R$ محايد في $R[x]$ . عكسيا إذا كانت $P(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {a_k x^k }$ عنصر محايد في $R[x]$ وكانت $Q(x) = r$ حيث r عنصر اختياري من R فإن

$r = Q(x) = Q(x) \cdot P(x) = r \cdot \left( {\sum\limits_{k = 0}^n {a_k x^k } } \right)= \sum\limits_{k = 0}^n {ra_k x^k }$

إذا $a_i = 0$ لكل $i = 1,2, \ldots ,n$ وبالتالي $r = ra_0$ . بالمثل $Q(x) = P(x) \cdot Q(x)$ تؤدي إلى أن $r = a_0 r$ . إذا $a_0$ محايد في R.

درجة الحدودية

إذا كانت $P(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {a_k x^k }$ حدودية بحيث $a_n \ne 0$ فنقول أن P من الدرجة n ونكتب $\deg P = n$ ويسمى $a_n$ المعامل القائد leading coefficient والمعامل $a_0$ يسمى الحد الثابت. إذا كان $a_n = 1_R$ فإننا نقول أن $P(x)$ حدودية واحدية monic polynomial. إذا كانت $P(x) = 0$ فإنها تسمى الحدودية الصفرية. الحدودية الصفرية $P$ ليس لها درجة كعدد صحيح ويكون ملائما في هذه الحالة أن نعرف $\deg P = - \infty$ . إذا كان $a \in R$ فإن $P(x) = a$ تسمى حدودية ثابتة.

حقيقة2: إذا كانت $f,g \in R[x]$ من الدرجة $n,m$ تواليا فإن

$\begin{array}{l} \deg (f + g) \le \max (m,n) \\ \deg (fg) \le m + n \\ \end{array}$

وإذا كان لمعاملي f,g الرئيسيين معكوس أو كانت R حلقة تامة فإن

$\deg (fg) = m + n$

البرهان: إذا كانت f أو g حدودية صفرية فالعلاقات متحققة وضوحا, لذلك افرض أن

$\begin{array}{l} f = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \\ g = b_m x^m + b_{m - 1} x^{m - 1} + \ldots + b_1 x + b_0 \\ \end{array}$

حيث $a_n ,b_m \ne 0$ . بدون فقد للعمومية يمكن أن نفرض $m \ge n > 0$ . إذا

$f + g = \sum\limits_{i = 0}^m {(a_i + b_i )} x^i$

حيث $a_i = 0$ لكل $i > n$ . إذا $\deg (f + g) \le m = \max (n,m)$ .

بالنسبة للضرب فإن

$fg = \sum\limits_{k = 0}^{m + n} {(c_k )} x^k$

وحيث أن

$c_{m + n} = a_0 b_{m + n} + a_1 b_{m + n - 1} + \cdots + a_n b_m + a_{n + 1} b_{m - 1} + \cdots + a_{m + n} b_0$

فإن $c_{m + n} = a_n b_m$ وبالتالي $\deg (fg) \le m + n$ . إذا كان لكل من $a_n ,b_m \ne 0$ معكوس أو كانت R حلقة تامة فإن $a_n b_m \ne 0$ معامل $x^{m + n}$ في fg وبالتالي $\deg (fg) = m + n$ .

نتيجة3: إذا كانت R حلقة تامة فإن

1. $R[x]$ حلقة تامة.

2. $U(R[x]) = U(R)$ حيث $U(R)$ زمرة عناصر الوحدة في الحلقة R. على وجه الخصوص إذا كان F حقل فإن $U(F[x]) = F^ \times$ حيث $F^ \times$ الزمرة الضربية للعناصر غير الصفرية في F.

البرهان: 1. افرض أن R حلقة تامة. إذا كانت $f,g \ne 0$ حدوديتين من $R[x]$ فإن

$\deg (fg) = \deg f + \deg g \ge 0$

أي أن $fg \ne 0$ وبالتالي لا تحوي $R[x]$ قواسم للصفر. من جهة أخرى, بما أن R إبدالية ولها محايد وليكن $1_R$ فحسب الحقيقة أعلاه $R[x]$ إبدالية و محايدها $1_R$ . إذا $R[x]$ حلقة تامة.