الشبكة موقع متخصص في عرض علوم الرياضيات في صفحات ثابتة تحتوي كل صفحة على وحدة معرفية معينة.

ترحب الشبكة بكل من يدعم هذا المشروع عن طريق كتابة مواضيع علمية رياضية رصينة

y'' = f(y,y') ........ c

الكاتب Muhanad

$y'' = f(y,y')$

لحل هذه المعادلة سنفرض أنّ $y' =\psi$ . وبالتالي

$\begin{array}{l}\\ y'' = f(y,y') \\ \\ \psi = y' \Rightarrow \quad \underbrace {\quad \frac{{d\psi }}{{dy}}\quad }_{} = \frac{{d\psi }}{{dx}}\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{y''}}{\psi } = \underbrace {\quad \frac{{f(y,\psi )}}{\psi }\quad }_{} \Rightarrow \\ \\ \frac{{d\psi }}{{dy}} = \frac{{f(y,\psi )}}{\psi } \\ \\ \end{array}$

والمعادلة الأخيرة هي عبارة عن معادلة تغاضلية من الدرجة الأولى , نحسب منها $\psi$ .

ومن ثم يكون الحل العام هو الحل العام للمعادلة التفاضلية $y' = \psi (y)$ وهي من الدرجة الأولى ومنفصلة المتحولات.

مثال:

$y'' = 3(y')^{^3 } \cdot y^2$

الحل:

$y'=\psi$ وبالتالي :

$\begin{array}{l}\\ y'' = f(y,y') = 3(y')^{^3 } \cdot y^2 \\ \\ \frac{{d\psi }}{{dy}} = \frac{{f(y,\psi )}}{\psi }\;\; \Rightarrow \;\;\frac{{d\psi }}{{dy}} = \frac{{3\psi ^3 \cdot y^2 }}{\psi } \Rightarrow \\ \\ \frac{{d\psi }}{{\psi ^2 }} = 3y^2 dy \Rightarrow \quad \psi (y) = \frac{{ - 1}}{{y^3 + C_1 }} \\ \end{array}$

ومن ثمّ

$\begin{array}{l}y' = \psi (y) \Rightarrow \quad \quad \quad \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{ - 1}}{{y^3 + C_1 }}\quad \quad \Rightarrow \\ \\ \left( {y^3 + C_1 } \right)dy = - dx\quad \quad \Rightarrow \\ \\ \\ \frac{1}{4}y^4 + C_1 \cdot y + x + C_2 = 0 \\ \end{array}$