قابلية القسمة على 3

$صورة محترف$

Submitted by محترف on سبت, 11/11/2006 - 19:45

Divisibility by 3

يقبل العدد الصحيح القسمة على العدد 3 إذا وإذا فقط كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3. بلغة الرموز نقول أن العدد الطبيعي $a_n a_{n - 1} \ldots a_2 a_1$ المكتوب في صورته المعتادة,(آحاد , عشرات , ...) يقبل القسمة على 3 إذا وإذا فقط كان المجموع

$a_n + a_{n - 1} + \ldots + a_2 + a_1$

يقبل القسمة على 3. هذا يعني أنه يوجد عدد طبيعي M بحيث

$a_n + a_{n - 1} + \ldots + a_2 + a_1 = 3M$

مثال1: العدد 12345 يقبل القسمة على 3 لأن

1+2+3+4+5=15=3(5)

مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3 . بينما العدد 122 لا يقبل القسمة على 3 لأن مجموع أرقامه 5 والعدد 5 لا يقبل القسمة على 3.

إثبات اختبار قابلية القسمة على 3:

ليكن $a_n a_{n - 1} \ldots a_2 a_1$ عدد طبيعي مكتوب في صورة معتادة (آحاد , عشرات , ...). نكتب هذا العدد في التمثيل العشري

$a_n a_{n - 1} \ldots a_2 a_1 = 10^{n - 1} a_n + 10^{n - 2} a_{n - 1} + \cdots + 10^1 a_2 + a_1$

$= (\underbrace {99 \cdots 9}_{n - 1{\rm{ times}}}a_n + a_n ) + (\underbrace {99 \cdots 9}_{n - 2{\rm{ times}}}a_{n - 1} + a_{n - 1} ) + \cdots + (9a_2 + a_2 ) + a_1$

$= \underbrace {99 \cdots 9}_{n - 1{\rm{ times}}}a_n + \underbrace {99 \cdots 9}_{n - 2{\rm{ times}}}a_{n - 1} + \cdots + 9a_2 + (a_n + a_{n - 1} + \cdots + a_1 )$

في السطر الأخير, كل الحدود خارج القوس تقبل القسمة على 3 لأنها من مضاعفاته وبالتالي مجموعها يقبل القسمة على 3 . إذا العامل الذي يحدد قابلية القسمة على 3 هو المجموع

$a_n + a_{n - 1} + \cdots + a_1$