دالة أرضية x (صحيح x) و دالة سقف x

Floor and Ceiling Functions

أي عدد حقيقي x يمكن كتابته على شكل حاصل جمع عدد صحيح n وعدد غير سالب أقل من 1 رمزه {x} و يسمى القسم الكسري fractional part للعدد x. إذا

x=n+{x}

يعرف صحيح x (أو أرضية x) على أنه أكبر عدد صحيح لا يزيد عن x ورمزه $\left\lfloor x \right\rfloor$ . إذا

$\left\lfloor x \right\rfloor \le x$ وذلك لأي عدد حقيقي x

ويتحقق التساوي إذا وفقط إذا كان x عدد صحيح. كذالك

$x = \left\lfloor x \right\rfloor + \{ x\}$

على سبيل المثال

$\left\lfloor { - 1} \right\rfloor = - 1,\quad \left\lfloor { - 1.5} \right\rfloor = - 2,\quad \left\lfloor {3.1} \right\rfloor = 3,\quad \left\lfloor 4 \right\rfloor = 4$

تسمى الدالة التي تنقل العدد x إلى $\left\lfloor x \right\rfloor$ بدالة أرضية x , floor function أو دالة صحيح x. وهذا المصطلح يبدو واضحا إذا ما تخيلنا محور الأعداد الحقيقية في وضع رأسي, فأرضية العدد x هي بالضبط أقرب عدد صحيح يقع أسفل العدد x أو ينطبق عليه.

إن القول أن أرضية العدد السالب ( -0.75) هي (-1) أسهل على الفهم من قولنا أن القسم الصحيح للعدد ( -0.75) هي (-1), هذا يسبب شيء من الغموض ولذلك نفضل المصطلح "أرضية x" على المصطلح "صحيح x". وسنرى بعد قليل سبب آخر لهذا التفضيل عند تعريف "سقف x".

دالة سقف x ,( the ceiling function of x)

إذا كان x عدد حقيقي فإن سقف x ورمزه $\left\lceil x \right\rceil$ عبارة عن أصغر عدد صحيح ليس اقل من x. بمعنى آخر لو تخيلنا محور الأعداد الحقيقية في وضعه الرأسي, فإن $\left\lceil x \right\rceil$ هو أقرب عدد صحيح من x يقع أعلى العدد x أو ينطبق عليه. ومن هنا نفهم المسمى "سقف x". إذا

$\left\lceil x \right\rceil \ge x$ وذلك لأي عدد حقيقي x

ويتحقق التساوي إذا وفقط إذا كان x عدد صحيح.

دالة السقف ترتبط بدالة الأرضية وفق العلاقة التالية

$\left\lceil x \right\rceil = \left\{ \begin{array}{l} \left\lfloor x \right\rfloor \quad if\;x \in Z \\ \left\lfloor x \right\rfloor + 1\quad if\;x \notin Z \\ \end{array} \right.$

حيث Z مجموعة الأعداد الصحيحة. ولذلك كل خاصية لـ $\left\lfloor x \right\rfloor$ هناك ما يقابلها لـ $\left\lceil x \right\rceil$ .

هناك علاقات مهمة بين أرضية x و سقف x منها العلاقة التالية والتي تستخدم في تحويل خواص لدالة السقف إلى دالة الأرضية أو العكس مثل

لأي عدد حقيقي x فإن $\left\lfloor x \right\rfloor = - \left\lceil { - x} \right\rceil$

إذا كان n عدد صحيح و x عدد حقيقي فإن الخاصيتين التالية تنتج مباشرة من التعريف

$\left\lfloor {x + n} \right\rfloor = \left\lfloor x \right\rfloor + n$

$\left\lceil {x + n} \right\rceil = \left\lceil x \right\rceil + n$

$\{ x + n\} = \{ x\} + n$

خواص أولية في دالة أرضيةx.

إذا كان x,y عددين حقيقيين فمن السهل التحقق مما يلي

1) $x - 1 < \left\lfloor x \right\rfloor \le x$

2) $\left\lfloor x \right\rfloor \le x < \left\lfloor x \right\rfloor + 1$

3) $\left\lfloor {x + y} \right\rfloor - 1 \le \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor y \right\rfloor \le \left\lfloor {x + y} \right\rfloor$

ويمكن من خلال $\left\lfloor x \right\rfloor = - \left\lceil { - x} \right\rceil$ أيجاد خواص مشابهة لدالة السقف.

الخاصية 1) و 2) مباشرة وبالنسبة لخاصية 3) تثبت على النحو التالي: من خلال الخاصية 1),

$x + y - 1 < \left\lfloor {x + y} \right\rfloor \le x + y$

كذلك من نفس الخاصية وبعد الضرب في (-1) نجد

$\begin{array}{l} - x \le - \left\lfloor x \right\rfloor < - x + 1 \\ - y \le - \left\lfloor y \right\rfloor < - y + 1 \\ \end{array}$

بجمع المتباينات الثلاث

$- 1 < \left\lfloor {x + y} \right\rfloor - \left\lfloor x \right\rfloor - \left\lfloor y \right\rfloor < 2$

وحيث الطرف الأوسط مقدار صحيح فإن

$0 \le \left\lfloor {x + y} \right\rfloor - \left\lfloor x \right\rfloor - \left\lfloor y \right\rfloor \le 1$

وبإضافة $\left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor y \right\rfloor$ للأطراف الثلاثة نصل للمطلوب.

من هذه المتباينة ينتج مباشرة الخاصية

4) $\{ x + y\} \le \{ x\} + \{ y\}$

5) إذا كان k عدد صحيح فإن $\{ x + k\} = \{ x\}$ , و $\left\lfloor {x + k} \right\rfloor = \left\lfloor x \right\rfloor + k$

لأي عدد حقيقي وغير صحيح x فإن $\left\lfloor x \right\rfloor$ له التمثيل التالي بواسطة سلسلة فورييه

$\left\lfloor x \right\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi }\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\sin 2\pi kx}}{k}}$

تظهر دالة السقف والأرضية في متتابعات تتمتع بخواص جميله, ونقدم هنا مثالين على ذلك. الأول متتابعة كونل Connell Sequence:

1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, ...

والمولدة باختيار أعداد طبيعية بالطريقة التالية. خذ العدد الفردي الأول, بعد ذلك نأخذ العددين الزوجيين الذين بعده مباشرة , بعد ذلك الثلاثة أعداد الفردية التي بعدهما مباشرة , ثم ألأربعة أعداد الزوجية التي بعدهم مباشرة وهكذا باستمرار. ذكر كونل أن الحد العام لهذه المتتابعة هو

$u_n = 2n - \left\lfloor {(1 + \sqrt {8n - 7} )/2} \right\rfloor$

والإثبات تجده في

American Mathematical Monthly, v.67, no. 4 (April, 1960), p. 380. Solution to Elementary Problem E1382.

المثال الثاني عبارة عن متتابعة بيتي, Beatty Sequence. إذا كان a عدد حقيقي غير نسبي, أي $a \notin Q$ فإن المتتابعة من الشكل

$\left\lfloor a \right\rfloor ,\;\left\lfloor {2a} \right\rfloor ,\;\left\lfloor {3a} \right\rfloor ,\;\left\lfloor {4a} \right\rfloor ,\; \cdots$

تسمى متتابعة بيتي ويسمى العدد a أساس المتتابعة. لهذه المتتابعة ميزة جميلة تضمنتها نظرية بيتي التي نناقشها الآن.

نظرية بيتي (Beatty's Theorem)
إذا كان r,s عددين حقيقيين موجبين وغير نسبيين بحيث $\frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1$ فإن متتابعتي بيتي $\left( {\left\lfloor {nr} \right\rfloor } \right),\;\left( {\left\lfloor {ns} \right\rfloor } \right)$ تشكل تجزيئا لمجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. أي أن كل عدد صحيح موجب يقع في واحدة فقط من هاتين المتتابعتين.

البرهان: النظرية تكافئ أن كل فترة مفتوحة $(N,N + 1)$ تحتوي على عنصر واحد فقط من $\{ (nr)\} \cup \;\{ (ns)\}$ حيث N أي عدد صحيح موجب. بداية لا يوجد أي حدين متساويين بين المتتابعتين, لأنه لو كان mr=ns فإن

$\frac{m}{n} = \frac{s}{r} = s - 1$

مما يعني أن الكسر m/n ليس عددا نسبيا وهذا مستحيل.

ليكن N عدد صحيح موجب اختياري. عدد الحدود من المتتابعة (nr) والتي أقل من أو تساوي N يساوي $\left\lfloor {N/r} \right\rfloor$ . بالمثل عدد الحدود من المتتابعة (ns) والتي تقل عن أو تساوي N يساوي $\left\lfloor {N/s} \right\rfloor$ . انظر التمارين.

لاحظ أنه لايوجد من ضمن هذا العدد أي حد يساوي N لأن حدود المتتابعتين دائما أعداد غير نسبية. إذا

$N/r - 1 < \left\lfloor {N/r} \right\rfloor < N/r$

$N/s - 1 < \left\lfloor {N/s} \right\rfloor < N/s$

بالجمع مع مراعاة أن $\frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1$ نصل إلى

$N - 2 = N/r - 1 + N/s - 1 < \left\lfloor {N/r} \right\rfloor + \left\lfloor {N/s} \right\rfloor < N/r + N/s = N$

إذا $\left\lfloor {N/r} \right\rfloor + \left\lfloor {N/s} \right\rfloor = N - 1$ , أي أن عدد العناصر من المتتابعتين والذي يقل عن N هو N-1 . ضع N+1 بدلا من N لينتج أن عدد العناصر من المتتابعتين والذي يقل عن N+1 يساوي N أي بزيادة عنصر واحد فقط وبالطبع سينتمي إلى $(N,N + 1)$ .

عكس النظرية صحيح, بمعنى إذا مثلت المتتابعتين $\left( {\left\lfloor {nr} \right\rfloor } \right),\;\left( {\left\lfloor {ns} \right\rfloor } \right)$ تجزيء لمجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة حيث r,s موجبين فإن r,s غير نسبيين و $\frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1$ .

أخيرا نقدم النظرية التالية والتي تعتبر أداة جيدة ومساعدة في برهان العديد من العلاقات التي تتضمن دالة صحيح x.

نظرية:
ليكن p>2 عدد أولي و q عدد صحيح لا يقبل القسمة على p. إذا كانت $f:N^* \to R$ دالة حقيقية القيمة معرفة على مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة N* بحيث أنه لأي k=1,2,...,p-1

1) $\frac{{f(k)}}{p}$ ليس صحيحا

2) $f(k) + f(p - k)$ عدد صحيح يقبل القسمة على p فإن

$\sum\limits_{k = 1}^{p - 1} {\left\lfloor {\frac{q}{p}f(k)} \right\rfloor } = \frac{q}{p}\sum\limits_{k = 1}^{p - 1} {f(k)} - \frac{{p - 1}}{2}$

الإثبات
من 2) نستنتج أن $\frac{{qf(k)}}{p} + \frac{{qf(p - k)}}{p}$ عدد صحيح, في حين (من 1)) أن كلا من $\frac{{qf(k)}}{p},\frac{{qf(p - k)}}{p}$ ليست أعداد صحيحة وذلك لأي k=1,2,...,p-1. إذا

$0 < \left\{ {\frac{{qf(k)}}{p}} \right\} + \left\{ {\frac{{qf(p - k)}}{p}} \right\} < 2$

وحيث (من 1)) هذا المقدار عدد صحيح فإن

$\left\{ {\frac{{qf(k)}}{p}} \right\} + \left\{ {\frac{{qf(p - k)}}{p}} \right\} = 1,\quad k = 1,2, \cdots ,p - 1.$

بالجمع من 1 الى p-1 نصل إلى

$2\sum\limits_{k = 1}^{p - 1} {\left\{ {\frac{{qf(k)}}{p}} \right\}} = p - 1$

وبالقسمة على 2 واستخدام العلاقة $\{ x\} = x - \left\lfloor x \right\rfloor$ نصل إلى

$\sum\limits_{k = 1}^{p - 1} {\left\lfloor {\frac{{qf(k)}}{p}} \right\rfloor } = \sum\limits_{k = 1}^{p - 1} {\frac{{qf(k)}}{p}} - \frac{{p - 1}}{2}$

وبهذا تثبت النظرية.

مسائل

* إذا كان n عدد صحيح فإن $\left\lceil {n/2} \right\rceil + \left\lfloor {n/2} \right\rfloor = n$

* عدد أرقام العدد الصحيح k يساوي $\left\lfloor {\log _{10} \left| k \right|} \right\rfloor + 1$ .

* لأي عددين حقيقيين x,y فإن

$\left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor y \right\rfloor \le \left\lfloor {x + y} \right\rfloor \le \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lceil y \right\rceil \le \left\lceil {x + y} \right\rceil \le \left\lceil x \right\rceil + \left\lceil y \right\rceil$

* ليكن x,a أعداد موجبة. أثبت أن عدد الأعداد, التي عبارة عن مضروب a في عدد صحيح موجب, والتي لا تزيد عن x يساوي $\left\lfloor {x/a} \right\rfloor$ . إرشاد افرض عددها k ثم كون متباينة لها ثلاثة أطراف.

* إذا كان m, n صحيحين بحيث n>0 فإن $\left\lfloor {\frac{m}{n}} \right\rfloor + \left\lfloor {\frac{{ - m - 1}}{n}} \right\rfloor + 1 = 0$ . ثم بين ان هذه المتطابقة قد لا تتحقق عندما يكون m حقيقي.

* أثبت أن $\left\lfloor x \right\rfloor = \left\lfloor {\frac{x}{2}} \right\rfloor + \left\lfloor {\frac{{x + 1}}{2}} \right\rfloor$

* إذا كان n صحيح موجب فإن $\left\lfloor {nx} \right\rfloor = n\left\lfloor x \right\rfloor + k$ إذا وفقط إذا $\frac{k}{n} \le \{ x\} < \frac{{k + 1}}{n}$ .

* اوجد $\int_0^a {\left\lfloor x \right\rfloor } dx$

* إذا كان n صحيح موجب و $\Phi = (1 + \sqrt 5 )/2$ النسبة الذهبية, أثبت أن

1) $\left\lfloor {\Phi ^2 n} \right\rfloor = n + \left\lfloor {\Phi n} \right\rfloor$

2) $\left\lfloor {\Phi n} \right\rfloor + \left\lfloor {\Phi ^2 n} \right\rfloor = \left\lfloor {\Phi \left\lfloor {\Phi ^2 n} \right\rfloor } \right\rfloor$

* إذا كان n صحيح موجب و x حقيقي فأثبت أن $\left\lfloor {\left\lfloor x \right\rfloor /n} \right\rfloor = \left\lfloor {x/n} \right\rfloor$

* كتطبيق سريع للنظرية أعلاه ضع f(x)=x واثبت الصيغة التالية والعائدة لجاوس.

$\sum\limits_{k = 1}^{p - 1} {\left\lfloor {k\frac{q}{p}} \right\rfloor } = \frac{{(p - 1)(q - 1)}}{2}$

ثم قدم برهان مستقل لهذه الحقيقة.

* إذا كان n صحيح موجب و x حقيقي , اثبت متطابقة هيرمت Hermite's identity,

$\left\lfloor {nx} \right\rfloor = \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor {x + \frac{1}{n}} \right\rfloor + \left\lfloor {x + \frac{2}{n}} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor {x + \frac{{n - 1}}{n}} \right\rfloor$

*(IMO 1968), إذا كان n صحيح موجب فإن

$\left\lfloor {\frac{{n + 1}}{2}} \right\rfloor + \left\lfloor {\frac{{n + 2}}{{2^2 }}} \right\rfloor + \left\lfloor {\frac{{n + 2^2 }}{{2^3 }}} \right\rfloor + \cdots = n$

*(USA Mathematical Olympiad), إذا كان n صحيح موجب و x حقيقي , اثبت أن

$\left\lfloor {nx} \right\rfloor \ge \frac{{\left\lfloor x \right\rfloor }}{1} + \frac{{\left\lfloor {2x} \right\rfloor }}{2} + \cdots + \frac{{\left\lfloor {nx} \right\rfloor }}{n}$