فضاء هاوسدورف (مسلمة الفصل الثانية )

analysis

Hausdorff Space

فضاء هاوسدورف Hausdorff اسم مشهور جداً لمسلمة الفصل الثانية $T_2$ . و تعتبر من أهم المسلمات لما لها من خصائص جميلة .

تعريف :

نقول عن الفضاء التوبولجي $X$ بأنه فضاء $T_2$ إذا و فقط إذا لأي نقطتين $x,y \in X$ حيث $x\ne y$ يوجد لدينا مجموعتين مفتوحتين $U,V$ حيث $x\in U$ و $y\in V$ و $U \cap V =\phi$ .

بمعنى آخر : أي نقطتين مختلفتين في $X$ يمكن فصلهم فصلاً تاماً بمجموعتين مفتوحتين.

نلاحظ من $T_2 \Rightarrow T_1$ .

و لكن الإتجاه المعاكس غير محقق و المثال التالي يوضح ذلك .

مثال :

لنأخذ Cofinite التوبولوجي المعرف على $\mathbb{R}$ ، وهو :

$R-U \text{ is finite } \}$ .

الآن تم إثبات أن هذا التوبولجي هو أصغر توبولجي يصنع $T_1$ . انظر http://www.mathramz.com/math/Frechet_T1

و لكنه لا يحقق شروط $T_2$ و لإثبات ذلك : ( عن طريق التناقض )

لنأخذ النقطتين $x\ne y$ و لنفرض أنه يوجد لدينا $U,V$ مجموعتين مفتوحتين بحيث تقاطعهم $\phi$ .و $x\in U$ و $y\in V$

بما أن $U \cap V = \phi$ فهذا يؤدي إلى أن $U \subseteq \mathbb{R}-V$ و $V \subseteq \mathbb{R}-U$ .

ولكن هذا بحد ذاتيه تناقض بسبب $U,V$ مجموعتين لديهم عدد لا نهائي من النقاط ( من تعريف $\tau$ ).

و $\mathbb{R}-U$ و $\mathbb{R} -V$ مجموعتين منتهيتين . بسبب أن $U,V$ مجموعتين مفتوحتين .

مما يؤدي إلى أن مجموعة لا منتهية محتواه داخل مجموعة منتهية و هذا تناقض.

$\therefore$ $(\mathbb{R},\tau)$ ليس $T_2$ .

لنرى أهم النظريات المكافئة لتعريف $T_2$ :

نظرية (1) :

لأي فضاء توبولوجي $X$ ، الآتي يكون متكافىء :

1) $X$ عبارة عن فضاء $T_2$ .

2) لأي نقطة $p$ ، و لأي نقطة $x\ne p$ ، يوجد لدينا مجموعة مفتوحة $U$ بحيث $p\in U$ و $x \notin \overline {U}$ .

3) المجموعة القطرية $x \in X \}$ مجموعة مغلقة في $X \times X$ .

4) لأي نقطة $x\in X$ ، لدينا :

$x \in U \}$ حيث $U$ مجموعة مفتوحة .

الإثبات :

(1) $\Leftarrow$ (2) :

لنأخذ أي نقطتين $x\ne p$ ، من (1) يوجد لدينا مجموعتين مفتوحتين $U,V$ بحيث $x\in V$ و $p\in U$ و $U\cap V=\phi$ .

و لكن هذا يعطي وجود مجموعة مفتوحة تحوي $x$ ولا تقطع المجموعة المفتوحة $V$ .

بمعنى آخر : $x\notin \overline{U}$ .

(2) $\Leftarrow$ (3) :

نريد أن نثبت أن المجموعة $X^{2}- \Delta$ عبارة عن مجموعة مفتوحة.لنأخذ $(x,y)\in X^{2}- \Delta$ هذا يعطي أن $x\ne y$ ، و النقطتين $x,y\in X$ من (2) يوجد لدينا مجموعة مفتوحة $U$ بحيث $x\in U$ و $y\notin \overline{U}$ لنفرض $Q=U\times (X-\overline{U})$ مما يؤدي إلى أن $(x,y)\in Q \subseteq X^{2}-\Delta$ .

بمعنى آخر : $X^2-\Delta$ مجموعة مفتوحة .

$\therefore$ المجموعة القطرية $\Delta$ مجموعة مغلقة .

(3) $\Leftarrow$ (4) :

نريد إثبات أن " $\subseteq$ " و الإتجاه " $\supseteq$ "

ولكن الإتجاه " $\subseteq$ " واضح .

يبقى إثبات الإتجاه " $\supseteq$ " :

لنفرض يوجد نقطة $y$ في التقاطع بحيث $x\ne y$ .

الآن $(x,y)\in X^2-\Delta$ بمعنى آخر يوجد مجموعتين مفتوحتين $U,V$ من عناصر الأساس^[م] ( Base ) ، بحيث $x\in U$ ، و $y\in V$ و $(x,y)\in U\times V \subseteq X^2-\Delta$ بالتالي :

$U\cap V=\phi$ مما يؤدي إلى $y\notin \overline{U}$ .

إذن يوجد مجموعة مفتوحة $U$ موجدة في التقاطع ، بحيث $x\in U$ و $y\notin \overline{U}$ .مما يؤدي إلى أن $y$ غير موجودة في التقاطع و هذا تناقض .

(4) $\Leftarrow$ (1) :

لنأخذ النقطتين $x\ne y$ من المجموعة $X$ ، ولكن من (4) يكون لدينا :

$x \in U \}$ و $y \in V \}$ .

وبالتالي : $x\notin \overline{V_\alpha}$ ، لقيمة محددة من $\alpha$ ، و منها

$x\in X-\overline{V}$ .

المجموعتين $V, X-\overline{V}$ مجموعتين مفتوحتين تقاطعهم $\phi$ . و $x\in X-\overline{V}$ و $y\in V$ .

$\therefore$ $X$ هو $T_2$ .

نظرية (2) :

لنفرض أن $X$ فضاء توبولجي و $Y$ فضاء هاوسدورف ، و نفرض الإقترانين المتصلين $f,g$ بحيث :

$X\rightarrow Y$ , $X\rightarrow Y$ ، إذن يكون لدينا :

أ) المجموعة $f(x)=g(x)\}$ مجموعة مغلقة في $X$ .

ب) إذا كانت $D$ مجموعة مكثفة (Dense ) في $X$ و $f_{|_D}=g_{|_D}$ .

يكون لدينا $f=g$ .

الإثبات :

أ) من المعلوم أن $\overline{A}=A\cup A^'$ . بحيث $A^'$ مجموعة تحوي جميع النقط الصماء ( Cluster points ) لمجموعة $A$ .

سنثبت النظرية بإستخدام التناقض .

لنفرض أن المجموعة $A$ مجموعة ليست مغلقة ، إذن يوجد نقطة صماء $x$ بحيث $x\notin A$ .

إذن $f(x)\ne g(x)$ ، و بما أن $Y$ فضاء هاوسدورف إذن يوجد مجموعتين مفتوحتين $U,V$ تقاطعهم فارغ

و $f(x) \in U$ و $g(x) \in V$ .

و بما أن $f,g,$ إقترانين متصلين ، إذن يوجد مجموعتين مفتوحتين ${U_1},{V_1}$ و بحيث :

$x\in U_1$ و $x\in V_1$ و يكون لدينا أيضاً :

$f(U_1) \subseteq U$ و $g(V_1) \subseteq V$ .

لنفرض : $Q={U_1} \cap {V_1}$ .إذن $f(Q)\subseteq U$ و $g(Q) \subseteq V$ .

الآن : $Q\cap A\ne \phi$ بسب أن $x$ نقطة صماء للمجموعة $A$ .

مما يؤدي إلى أن :

$f(Q\cap A)\subseteq U$ و $g(Q\cap A)\subseteq V$ .

و بالتالي يؤدي إلى وجود تناقض بسبب أن $f(Q\cap A)=g(Q\cap A)$ مما يعطينا أن $U\cap V\ \ne \phi$ و هذا تناقض .

$\therefore$ المجموعة $A$ مغلقة في $X$ .

ب) بما أن $D$ مجموعة مكثفة ، يؤدي ذلك إلى أن $\overline {D}= X$ و من ( أ) يكون لدينا :

أن المجموعة $D$ مجموعة مغلقة .مما يعني ذلك إلى ان $\overline{ D} =D$ . فبالتالي :

${f_{|_D}}={g_{|_D}} \Leftrightarrow {f_{|_X}}={g_{|_X}} \Leftrightarrow f=g$ .

هذه النظرية تلعب دور جميل في إثبات أحد النظريات المعروفة في التحليل الحقيقي و المكتوبة في النتيجة التالية :

نتيجة :

إذا عرفنا الإقترانين المتصلين $f,g$ كالآتي :

$( \mathbb{R},\tau_u)\rightarrow (\mathbb{R},\tau_u)$ و $( \mathbb{R},\tau_u)\rightarrow (\mathbb{R},\tau_u)$ ،

بحيث $( \mathbb{R},\tau_u)$ هو بناء التوبولوجي المعتاد (Usual Topology ) .

إذا علمت أن $\mathbb{Q}$ مجموعة الأعداد النسبية و ${f_{|_\mathbb{Q}}}= {g_{|_\mathbb{Q}}}$ إذن يكون لدينا :

$f=g$ .

الإثبات : تطبيق^[م] مباشر على نظرية (2) من فرع (ب) .

نظرية (3) :

إذا كان الفضاء التوبولوجي $X$ هو فضاء هاوسدورف ، إذن أي متتالية داخل الفضاء $X$ ستكون متقاربة على الأكثر إلى نقطة واحدة .

الإثبات :

لنفرض بالتناقض يوجد متتالية $(x_n)$ متقاربة إلى عنصرين على الأقل $x\ne y$ .

و بالتالي يوجد مجموعتين مفتوحتين $U,V$ تقاطعهم $\phi$ . و من تعريف تقارب المتتاليات في الفضاء التوبولوجي سيكون المتتالية موجودة في $U$ مع إزالة عدد محدود من النقاط ( إن لزم الأمر ) و بالتالي هذه المتتالية لا يمكن أن تكون داخل $V$ بسبب أنه لو كانت لوجد عناصر مشتركة بينها و بين المجموعة المفتوحة $U$ . و هذا يناقض الفرض.