الصفحة الرئيسية » تبولوجي عام » مسلمات الفصل

فضاء كولمغورف ( مسلمة الفصل الصفرية ) .

Kolmogorov Space

إسم هذا الفضاء كولمغورف Kolmogorov هو عبارة عن مسمى غير مشهور لمسلمة الفصل الصفرية و هي T_0.

تعريف :

نقول عن الفضاء X بأنه الفضاء T_0 إذا و فقط إذا لأي نقطتين x,y\in X حيث x \ne y يوجد لدينا مجموعة مفتوحة U تحوي النقطة x و لا تحوي النقطة y أو يوجد لدينا مجموعة مفتوحة V تحوي النقطة y و لا تحوي النقطة x.

بمعنى آخر : أي نقطتين مختلفتين في القيمة يوجد لدينا مجموعة مفتوحة تحوي إحداهما و لا تحوي الأخرى.

 

هنالك عدة نظريات تثبت تعريف مكافىء لهذا التعريف .

نظرية :

لأي فضاء توبولوجي X ، الآتي يكون متكافىء :

1) X عبارة عن T_0 .

2) لأي نقطتين x \ne y داخل X ، يكون لدينا x \notin \bar{\{y\}} أو y \notin \bar{\{x\}}.

3) لأي نقطتين x\ne y داخل X يكون لدينا \bar {\{x\}} \ne \bar{\{y\}}.

الإثبات :

(1) \Leftarrow (2) :

لنفرض أن دينا (1) نريد إثبات (2) :

لنأخذ نقطتين x\ne y داخل X .إذن يوجد لدينا مجموعتين مفتوحتين U,V بحيث :

x \in U و y\notin U أو y \in V و x\notin V .

و هذا يعني : x \notin \bar{\{y\}} أو y \notin \bar{\{x\}}.

(2) \Leftarrow (3) :

لنفرض أن لدينا (2) و نريد إثبات (3) :

لنأخذ أي نقطتين x \ne y من X و بالتالي :

x \notin \bar{\{y\}} أو y \notin \bar{\{x\}} و مما يؤدي إلى أن \bar {\{x\}} \ne \bar{\{y\}}.

(3) \Leftarrow (1) :

لنفرض أن لدينا (3) و نريد إثبات (1) :

لنأخذ أي نقطتين x \ne y من X ، دع U =X-\bar{\{y\}}.

من هذه النظرية نستنتج إلى أن أي الشروط تحققت يكون لدينا الفضاء T_0.


تمارين :

1) أثبت ان الفضاء T_0 يحقق الخاصية التوبولوجية ( topological Propery ) .

2) أثبت أن الفضاء الجزئي من T_0 هو أيضاً T_0.


المراجع :

General Topology , Author : Paul E. Long

 

نبذة عن كاتب الموضوع
User picture

قواريق

محرر على شبكة الرياضيات رمز