نظرية كرول

Krull's theorem

نص النظرية : أي حلقة غير صفرية R ذات عنصر محايد يوجد فيها مثالية عظمى .

تعميم للنظرية : لتكن $R$ حلقة غير صفرية ذات عنصر محايد ، فإن كل مثالية فعلية من R محتواة في مثالية عظمى.

برهان: لتكن $A \triangleleft R$ تحقق أن $A \ne R$ ولنعرف $\Gamma$ كالأتي:

$\Gamma=\left\{{B\triangleleft R|A\subseteq B\ne R}\right\}$

نلاحظ أن $\Gamma$ غير خالية لأن $A\in\Gamma$ .وهي مرتبة ترتيب جزئي بعلاقة الإحتواء للمجموعات . لتطبيق لازمة زورن يجب علينا أن نثبت أن كل سلسلة $\ell=\left\{ {C_i |i \in I}\right\}$ من المثاليات في $\Gamma$ يوجد لها حد أعلى في $\Gamma$ . الآن سنثبت أن $C= \mathop\cup\limits_{i\in I}C_i$ مثالية، نفرض أن $a,b\in C$ إذن يوجد $i,j\in I$ بحيث أن $a\in C_i$ وَ $b\in C_j$ وحيث أن $\ell$ سلسلة فإما $C_j\subseteq C_i$ أو $C_i\subseteq C_j$ . سنفرض أن $C_j\subseteq C_i$ ( بالمثل عند فرض $C_i\subseteq C_j$ ) بالتالي $a,b\in C_i$ لكن $C_i\triangleleft R$ أي أنه لكل $r\in R$ فإن $ar,ra,a-b\in C_i\subseteq C$ . وهذا يثبت أن C مثالية .
كما أن $A\subseteq C_i$ لكل ${i\in I}$ بالتالي $A\subseteq\mathop\cup\limits_{i \in I}C_i=C$

أيضا بما أن $C_i\in\Gamma$ لكل ${i\in I}$ فإن $1_R\notin C_i$ ( وإلا لكانت $C_i=R$ ) وهذا يؤدي إلى أن $1_R\notin\mathop\cup\limits_{i\in I}C_i=C$ أي $C\ne R$ ما يعني أن $C\in\Gamma$ وواضح أن C حد علوي للسلسلة $\ell$ .إذن فروض لازمة زورن متحققة وبالتالي $\Gamma$ تحتوي على عنصر أعظم ولكن العنصر الأعظم في $\Gamma$ مثالية عظمى في R تحتوي A.

برهان النظرية : حيث أن $\left\langle 0\right\rangle=\left\{0\right\}=0$ مثالية في R و $0\ne R$ بتطبيق النظرية السابقة على $0$ نحصل على المطلوب.

المراجع:

http://en.wikipedia.org/wiki/Krull%27s_theorem

Thomas W. Hungerford,Algebra

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
LaTeX formulas are automatically converted into images.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <em> <center> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.