نظرية كرول

Krull's theorem

نص النظرية : أي حلقة غير صفرية R ذات عنصر محايد يوجد فيها مثالية عظمى . تعميم للنظرية : لتكن $R$ حلقة غير صفرية ذات عنصر محايد ، فإن كل مثالية فعلية من R محتواة في مثالية عظمى. برهان: لتكن $A \triangleleft R$ تحقق أن $A \ne R$ ولنعرف $\Gamma$ كالأتي:

$\Gamma=\left\{{B\triangleleft R|A\subseteq B\ne R}\right\}$ نلاحظ أن $\Gamma$ غير خالية لأن $A\in\Gamma$ .وهي مرتبة ترتيب جزئي بعلاقة الإحتواء للمجموعات . لتطبيق لازمة زورن يجب علينا أن نثبت أن كل سلسلة $\ell=\left\{ {C_i |i \in I}\right\}$ من المثاليات في $\Gamma$ يوجد لها حد أعلى في $\Gamma$ . الآن سنثبت أن $C= \mathop\cup\limits_{i\in I}C_i$ مثالية، نفرض أن $a,b\in C$ إذن يوجد $i,j\in I$ بحيث أن $a\in C_i$ وَ $b\in C_j$ وحيث أن $\ell$ سلسلة فإما $C_j\subseteq C_i$ أو $C_i\subseteq C_j$ . سنفرض أن $C_j\subseteq C_i$ ( بالمثل عند فرض $C_i\subseteq C_j$ ) بالتالي $a,b\in C_i$ لكن $C_i\triangleleft R$ أي أنه لكل $r\in R$ فإن $ar,ra,a-b\in C_i\subseteq C$ . وهذا يثبت أن C مثالية . كما أن $A\subseteq C_i$ لكل ${i\in I}$ بالتالي $A\subseteq\mathop\cup\limits_{i \in I}C_i=C$ أيضا بما أن $C_i\in\Gamma$ لكل ${i\in I}$ فإن $1_R\notin C_i$ ( وإلا لكانت $C_i=R$ ) وهذا يؤدي إلى أن $1_R\notin\mathop\cup\limits_{i\in I}C_i=C$ أي $C\ne R$ ما يعني أن $C\in\Gamma$ وواضح أن C حد علوي للسلسلة $\ell$ .إذن فروض لازمة زورن متحققة وبالتالي $\Gamma$ تحتوي على عنصر أعظم ولكن العنصر الأعظم في $\Gamma$ مثالية عظمى في R تحتوي A. برهان النظرية : حيث أن $\left\langle 0\right\rangle=\left\{0\right\}=0$ مثالية في R و $0\ne R$ بتطبيق النظرية السابقة على $0$ نحصل على المطلوب.