نظرية كرول

Krull's theorem

نص النظرية : أي حلقة غير صفرية R ذات عنصر محايد يوجد فيها مثالية عظمى . تعميم للنظرية : لتكن R حلقة غير صفرية ذات عنصر محايد ، فإن كل مثالية فعلية من R محتواة في مثالية عظمى. برهان: لتكن A \triangleleft R تحقق أن A \ne R ولنعرف \Gamma كالأتي:

\Gamma=\left\{{B\triangleleft R|A\subseteq B\ne R}\right\} نلاحظ أن \Gamma غير خالية لأن A\in\Gamma .وهي مرتبة ترتيب جزئي بعلاقة الإحتواء للمجموعات . لتطبيق لازمة زورن يجب علينا أن نثبت أن كل سلسلة \ell=\left\{ {C_i |i \in I}\right\} من المثاليات في \Gamma يوجد لها حد أعلى في \Gamma. الآن سنثبت أن C= \mathop\cup\limits_{i\in I}C_i مثالية، نفرض أن a,b\in C إذن يوجد i,j\in I بحيث أن a\in C_i وَ b\in C_j وحيث أن \ell سلسلة فإما C_j\subseteq C_i أو C_i\subseteq C_j. سنفرض أن C_j\subseteq C_i ( بالمثل عند فرض C_i\subseteq C_j) بالتالي a,b\in C_i لكن C_i\triangleleft R أي أنه لكل r\in R فإن ar,ra,a-b\in C_i\subseteq C . وهذا يثبت أن C مثالية . كما أن A\subseteq C_i لكل {i\in I} بالتالي A\subseteq\mathop\cup\limits_{i \in I}C_i=C أيضا بما أن C_i\in\Gamma لكل {i\in I} فإن 1_R\notin C_i ( وإلا لكانت C_i=R) وهذا يؤدي إلى أن 1_R\notin\mathop\cup\limits_{i\in I}C_i=C أي C\ne R ما يعني أن C\in\Gamma وواضح أن C حد علوي للسلسلة \ell .إذن فروض لازمة زورن متحققة وبالتالي \Gamma تحتوي على عنصر أعظم ولكن العنصر الأعظم في \Gamma مثالية عظمى في R تحتوي A. برهان النظرية : حيث أن \left\langle 0\right\rangle=\left\{0\right\}=0 مثالية في R و 0\ne R بتطبيق النظرية السابقة على 0 نحصل على المطلوب.

المراجع:
http://en.wikipedia.org/wiki/Krull%27s_theorem
Thomas W. Hungerford,Algebra

التعليقات

علِّق

  • LaTeX formulas are automatically converted into images.
  • بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
  • تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق