الدالة الأسية لمصفوفة

Matrix Exponential

التعريف :

إن الدالة $f(x) = e^x$ عندما x عدد حقيقي معروفة ، ولكن كيف يمكن تعريفها حينما تكون x مصفوفة مربعة ؟

الإجابة تكمن في تعريف الدالة باستخدام متسلسلة تايلور المتقاربة :

$e^A= \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{A^n}}{{n!}}} = 1 + A + \frac{{A^2 }}{{2!}} + \frac{{A^3 }}{{3!}} + ....$

حيث A مصفوفة مربعة .

خواص الدالة :

$e^ O= I$
$e^{A + B}= e^A e^B$ إذا كان AB=BA
$\det \left( {e^A } \right) \ne 0$ أي أن $e^A$ عكوسة دائماً والمعكوس معطى بـ $\left( {e^A } \right)^{ - 1}= e^{ - A}$
إذا كانت A مصفوفة قطرية بحيث $D = {\rm{diag}}\,\left[ {d_1 \,d_2 \,\,...\,\,d_n } \right]\,$ فإن : $e^D= {\rm{diag}}\,\left[ {e^{d_1 } \,e^{d_2 } \,\,...\,\,e^{d_n } } \right]$
إذا كانت القيم الذاتية eigenvalues للمصفوفة A هي $\lambda _1,\lambda _2 ,...,\lambda _n$ فإن القيم الذاتية للمصفوفة $e^A$ هي $e^{\lambda _1 } ,e^{\lambda _2 } ,...,e^{\lambda _n }$
إذا كان ${\rm{tr}}\,{\rm{(}}A{\rm{)}}$ يعني مجموع عناصر القطر الرئيسي لـ A فإن : ${\rm{det}}\,\left( {e^A } \right) = e^{{\rm{tr}}\,A}$
$\frac{d}{{dt}}e^{At} = Ae^{At}$

الدوال الدائرية لمصفوفة

يمكن تعريف كل من الجيب وجيب التمام لمصفوفة باستخدام صيغ أويلر على الشكل :

$\begin{array}{l} \cos A = \frac{1}{2}\left( {e^{iA} + e^{ - iA} } \right) \\ \sin A = \frac{1}{{2i}}\left( {e^{iA} - e^{ - iA} } \right) \\ \end{array}$

أهمية $e^{At}$

لأسية مصفوفة تطبيقات عديدة من أهمها في حل أنظمة المعادلات الخطية ،

ولتمهيد ذلك يمكن ملاحظة المعادلة التالية : $\,\dot y = ay$ حيث a عدد حقيقي . فإن حلها يعطى-كما هو معروف- بالشكل : $y(t) = \,y(0)e^{at}$ .

ولتعميم ذلك في حالة نظام معادلات على الشكل ${\bf{\dot y}} = A{\bf{y}}$

حيث A مصفوفة مربعة من الحجم n و ${\bf{y}}(t) = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {y_1 (t)} & {y_2 (t)} & {....} & {y_n (t)} \\\end{array}} \right]^T$

ويمكن كتابة الحل بالشكل : ${\bf{y}}(t) = {\bf{y}}(0)e^{At}$

حساب $e^{At}$

إن عملية حساب أسية مصفوفة تنطوي على كثير من التعقيد ، حيث أن التعريف بمتسلسلة تايلور لا يساعد على حسابها تحليلياً . لكن قد تم تطوير العدد من الطرق نذكر بعضها :

حساب الدالة للحالات الخاصة

يمكن حساب الدالة بسهولة في حالات معينة نذكر منها :

إذا كانت A قطورة :

تسمى المصفوفة المربعة قطورة diagonalaizable إذا وجدت مصفوفة قطرية D ومصفوفة عكوسة P بحيث $A = PDP^{ - 1}$ وفي هذه الحالة فإن : $e^A= Pe^D P^{ - 1}$ ، ويمكن حساب $e^D$ بسهولة من خلال الخاصية أعلاه ، ويمكن إثبات ذلك بملاحظة أن :

$e^A = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{A^n }}{{n!}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{PD^n P^{ - 1} }}{{n!}}} = P\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{D^n }}{{n!}}} } \right)P^{ - 1} = Pe^D P^{ - 1}$

إذا كانت A عديمة القوى nilpotent

تسمى مصفوفة A عديمة القوى إذا كان يوجد عدد طبيعي r بحيث أن $A^r= O$ ، من هذا ينتج أن $A^k= O$ لكل $k \geqslant n$ ، وباستخدام تعريف تايلور للدالة فإننا نحصل على :

$e^A = \sum\limits_{k = 0}^{r - 1} {\frac{{A^k }}{{k!}}} = 1 + A + \frac{{A^2 }}{{2!}} + ... + \frac{{A^{r - 1} }}{{(r - 1)!}}$

إذا كانت جميع القيم الذاتية لـ A مكررة

إذا كانت جميع القيم الذاتية eigenvalues لـ A تساوي عدداً ما $\lambda$ فإن مبرهنة كيلي-هاملتون Caylay-Hamilton Theorem تنص على أن A تحقق معادلتها المميزة ، أي أن ${(A - \lambda I)^n}=O$ ، وهذا يعني ${A - \lambda I}$ عديمة القوى nilpotent وبذلك فإن :

$e^A = e^{\lambda I} e^{A - \lambda I} = e^{\lambda I} \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\frac{{(A - \lambda I)^k }}{{k!}}}$

الطرق العامة لإيجاد أسية

هناك طرق عديدة لحساب أسية مصفوفة تربو على العشرين طريقة ، راجع [2] ،، ولكن أذكر منها :

باستخدام تفكيك جوردن للمصفوفات Jordan Matrix Decomposition
إن أي مصفوفة يمكن كتابتها بمفكوك جوردن على الشكل : $A = PJP^{ - 1}$ ، حيث J هي مصفوفة جوردن والتي تكون عبارة عن مصفوفة قطرية القوالب Block Diagonal :

$J = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {J_1 } & {} & {} & {} \\ {} & {J_2 } & {} & {} \\ {} & {} & \ddots & {} \\ {} & {} & {} & {J_r } \\ \end{array}} \right]$

حيث كل ${J_i }$ تكون على الشكل :

$J_i = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\lambda _j } & 1 & {} & {} \\ {} & {\lambda _j } & \ddots & {} \\ {} & {} & \ddots & 1 \\ {} & {} & {} & {\lambda _j } \\ \end{array}} \right]$

حيث ${\lambda _j }$ قيمة ذاتية eigenvalue للمصفوفة

إن حساب أسية أي مصفوفة يتم بالشكل التالي ، إن $e^{At} = Pe^{Jt} P^{ - 1}$ حيث :

$e^{Jt} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {e^{J_1 t} } & {} & {} & {} \\ {} & {e^{J_2 t} } & {} & {} \\ {} & {} & \ddots & {} \\ {} & {} & {} & {e^{J_r t} } \\ \end{array}} \right]$

وإن حساب أسية مصفوفة جوردن ${J_i }$ من الحجم s×s يتم بالشكل التالي :

$e^{J_i t} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {e^{\lambda _j t} } & {te^{\lambda _j t} } & {{\textstyle{1 \over {2!}}}t^2 e^{\lambda _j t} } & {...} & {{\textstyle{1 \over {(s - 1)!}}}t^{s - 1} e^{\lambda _j t} } \\ 0 & {e^{\lambda _j t} } & {e^{\lambda _j t} } & {{\textstyle{1 \over {2!}}}t^2 e^{\lambda _j t} } & \ddots \\ \vdots & 0 & {e^{\lambda _j t} } & \ddots & \ddots \\ \vdots & \ddots & 0 & {e^{\lambda _j t} } & {te^{\lambda _j t} } \\ 0 & {...} & {...} & 0 & {e^{\lambda _j t} } \\ \end{array}} \right]$

مشكلة تفكيك جوردن هو صعوبة تطبيقه عملياً لحساسيته للأخطاء الصغيرة في الحسابات ، مما جعله غير عملي

2. طريقة بوتزير Putzer's Method ، وقد تم تطويرها عام 1966 ، وتتميز الطريقة بأنها صالحة لكل مصفوفة سواء أكانت قطورة أم لم تكن ، وكذلك فإن سهلة التنفيذ عددياً .

تعتمد الطريقة على مبرهنة كيلي-هاملتون والتي ينتج منها أنه يمكن كتابة $A^n$ (حيث A مصفوفة مربعة من الحجم n ) على شكل توفيق خطي Linear Combination من المصفوفات $A^{n - 1} ,A^{n - 2} ,...,A,I$ ، وينتج من ذلك أن أي قوة للمصفوفة A أكبر من n يمكن كتابتها بدلالة نفس المصفوفات .

لذا فإن فكرة بوتزير كانت أنه يجب أن يكون هناك طريقة لكتابة $e^{At}$ بدلالة $A^{n - 1} ,A^{n - 2} ,...,A,I$ ، أي أن

$e^{At}= \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {q_k (t)A^k }$

لقد وصف بوتزير طريقتين لحساب المعاملات ${q_k (t)}$ ، وسنورد الأبسط منهما

مبرهنة : لتكن $\lambda _1 ,\lambda _2 ,...,\lambda _n$ عبارة عن القيم الذاتية للمصفوفة A من الحجم n×n . ولنعرف متتالية الحدوديات في A على الشكل :

$P_\circ (A) = I,\,\,\,\,P_k (A) = \prod\limits_{m = 1}^k {\left( {A - \lambda _m I} \right)} \,\,\,\,for\,\,k = 1,2,..,n$

فإن :

$e^{At} = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {r_{k + 1} (t)P_k (A)}$

حيث يمكن إيجاد المعاملات ${r_{i} (t)}$ توالدياً من خلال نظام المعادلات الخطية التالي :

$\begin{array}{l} r_1^{'} (t) = \lambda _1 r_1 (t)\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,r_1 (0) = 1 \\ r_{k + 1}^{'} (t) = \lambda _{k + 1} r_{k + 1} (t) + r_k (t),\,\,\,\,r_{k + 1} (0) = 0\,\,\, \\ \end{array}$

وذلك لـ k=1,2,...,n-1

3. باستخدام تحويل لابلاس Laplace Transform ، وفيما يلي شرح لذلك :

ذكرنا أن أسية مصفوفة تحقق النظام التالي : ${\bf{\dot y}} = A{\bf{y}}$ بحيث أن الحل هو : ${\bf{y}}(t) = {\bf{y}}(0)e^{At}$

بأخذ تحويل لابلاس لطرفي نظام المعادلات :

$sY - {\bf{y}}(0) = AY \Rightarrow (sI - A)Y = {\bf{y}}(0) \Rightarrow Y(s) = {\bf{y}}(0)(sI - A)^{ - 1}$

بالمقارنة نحصل على :

$e^{At} = \mathfrak L ^{ - 1} \left\{ {(sI - A)^{ - 1} } \right\}$

مواضيع متعلقة من منتدى رمز :

جيب مصفوفة

المراجع

[1] E. J. Putzer, ``Avoiding the Jordan canonical form in the discussion of linear systems with constant coefficients,'' American Mathematical Monthly 73 2-7 (1966

[2] C. Moler and C. Van Loan, Nineteen Dubious Ways to Compute Matrix Exponential , SIAM Review , Volume 20 , Issue 4 ( Oct, 1978 ) , 801-836

[3] Antsakalis, P.J., and Michel, A.N. “Linear Systems,” McGraw Hill: 1998.

[4] Calculus , Tom Apostol , VOL-2

[5] Mathowrld - Matrix Exponential

[6] Wikipedia - Matrix Exponential

[7] PlanetMath- Matrix Exponential