الصفحة الرئيسية » تبولوجي عام » مسلمات الفصل » الفضاء لطبيعي

لازمة يورزين

Urysohn's Lemma


تعريف (Dyadic fractions or rational ) :

أي كسر عادي مقامه من قوى العدد 2 و موجود في الفترة [0,1] يسمى dyadic fraction or rational .

أو بمعنى آخر أي كسر عادي على صورة \frac {k}{2^n} حيث n\in \mathbb N, k=1,2,\cdots ,2^n -1.

لازمة يورزين ( Urysohn's Lemma ) :

الفضاء التوبولوجي (X,\tau ) يكون :

T_4 إذا و فقط إذا ( \Leftrightarrow) كان T_{4\frac{1}{2}}.

الإثبات :

\Rightarrow :

ليكن A\ne B \ne \phi مجموعتين مغلقتين في X (تقاطعهم فارغ)،

ذن يوجد إقتران يورزين X\rightarrow [0,1] بحيث f(A)=\{0\} و f(B)=\{1\}.

الآن أفرض U=f^{-1}([0,\frac{1}{2})) و V=f^{-1}((\frac{1}{2},1]) .

و من الواضح أن U\cap V=\phi و أن A\subseteq U وB\subseteq V

\therefore الفضاء التوبولوجي (X,\tau) عبارة عن T_4.

\Leftarrow :

ليكن A\ne B \ne \phi مجموعتين مغلقتين في X( تقاطعهم فارغ ) ،

إذن بالضرورة أن يكون لدينا A\subseteq B^c ، و بالتالي يوجد مجموعة مفتوحة G_{\frac{1}{2}} بحيث :

A\subseteq G_{\frac{1}{2}} \subseteq \overline{ G_{\frac{1}{2}}} \subseteq B^c

هذه الجملة تنتج من التعريف المكافىء لمسلمة الفصل T_4.

و من الملاحظ أنه يمكن تطبيق[م] التعريف مرة اخرى على A\subseteq G_{\frac{1}{2}} ،

إذن يوجد لدينا مجموعة مفتوحة G_{\frac{1}{4}} بحيث :

A \subseteq G_{\frac{1}{4}} \subseteq \overline{G_{\frac{1}{4}}} \subseteq G_{\frac{1}{2}} \subseteq \overline{ G_{\frac{1}{2}}} \subseteq B^c

و لو تابعنا على هذا المنوال سنحصل على الخاصية التالية :

إذا كانت D جميع الأعداد النسبية dyadic في الفترة [0,1] ،

سنحصل على لأي t_1 ,t_2 \in D بحيث t_1 \leq t_2 سنحصل على أن \overline{G_{t_1}} \subseteq G_{t_2} .

لنعرف الدالة[م] f على X كالآتي :

f(x)=\left\{\begin{matrix}inf\{t,x\in G_t\}& x\notin B \\ 1 & x\in B\end{matrix}\right

من الملاحظ أن مدى هذا الإقتران في الفترة [0,1] ، و لاحظ أيضاً أن A\subseteq G_t لكل قيم t.

نستنتج مما سبق ان : f(A)=\{0\} و f(B)=\{1\}.

لآن لنثبت أن الإقتران f متصل :

لنأخذ الفترة (b,a)\subseteq [0,1] نريد إثبات أن الصورة العكسية f^{-1}(b,a) مجموعة مفتوحة في X.

و لكن يمكن كتابة الفترة (b,a) على الشكل التالي :

(b,a)=[0,a)\cap (b,1] و بما أن كل من [0,a) و (b,1] مجموعتين مفتوحتين في [0,1].

يكفي إثبات أن صورهم العكسية مفتوحة لإثبات أن الإقتران متصل .

إدعاء :

1) t < a\}

2) t >b\}

لاحظ أن الصور العكسية عبارة عن اتحاد مجموعات مفتوحة مما يؤدي إلى أن f عبارو عن إقتران متصل .
يبقى علينا أن نثبت (1) و ( 2) :

1) لنثبت الإتجاه \subseteq :

لنأخذ القيمة x\in f^{-1}([0,a)) و بالتالي يوجد لدينا عدد t_x\in D

( بسبب أن أي مجموعة مفتوحة في [0,1] ستقطع D و بالتالي D تكون كثيفة ) حيث :

t<a\}.

بالتالي x\in G_t لكل t< a .

إذن : t < a\}.

الإتجاه \supseteq :

لنأخذ القيمة t < a\} إذن يوجد t_x\in D بحيث :

t<a\} \leq t_x <a و بالتالي x\in f^{-1}([0,a)).

2) الإتجاه \subseteq :

لنأخذ القيمة x\in f^{-1}((b,1]) بمعنى 1\geq f(x) >b

و بالتالي يوجد لدينا عددين t_1,t_2 \in D حيث ( t_1 < t_2 ) و :

b < t_1 < t_2 < f(x) و بالتالي ينتج لدينا :

t>b\} \geq t_1 > b

و منها ينتج لدينا أن x\notin G_{t_1} و بالتالي x\notin \overline{G_{t_2}} .

إذن x\in \overline{G_{t_2}} ^c حيث t_2 > b و منها نستنتج أن :
t> a\}.

الإتجاه \supseteq :

لنأخذ القيمة t > b\} إذن يوجد t_x\in D بحيث :

t_x > b و x\in \overline{G_{t_x}}^c

ومنها نستنتج أن لكل t <t_x فإن x\notin G_t

و ذلك بسب أن G_t \subseteq G_{t_x} \subseteq \overline {G_{t_x}}

إذن 1\geq f(x)=inf\{t,x\in G_t\} \geq t_x > b.

\therefore مسلمة الفصل T_{4\frac{1}{2}} هو نفسه الفضاء الطبيعي و بالعكس .

 

نبذة عن كاتب الموضوع
User picture

قواريق

محرر على شبكة الرياضيات رمز