ثلاثيات فيثاغورس

Pythagorean Triples

ثلاثيات فيثاغورس هي عبارة عن الحلول الصحيحة الموجبة للمعادلة $x^2+ y^2= z^2$ ، سنثبت أن معطاة بالصيغة التالية :

$\,\,r,s,t \in {\mathbb {Z}}^ + \,,\,s > t$

الـــبــرهــــان :

• بداية ، فإنه إذا كان هناك عامل مشترك r بين x,y,z فإننا نقوم بقسمة المعادلة عليه لنحصل على المعادلة :

$a^2+ b^2= c^2$

حيث a,b,c أولية نسبياً لبعضها ، و $(x,y,z) = (ra,rb,rc)$
كذلك فإن a,b أوليان نسبياً ، لأنه لو كان هناك عامل مشترك p ، لكان عاملاً لـ c أيضاً لأن $a^2+ b^2= c^2$
وكذلك فإن a,c و b,c أوليان نسبياً بنفس الطريقة .
• إن a,b ليسا بنفس الزوجية .. أي ليسا فرديين معاً أو زوجيين معاً . إذا فرضنا أن a,b فرديان فإن :

$c^2= (2k + 1)^2+ (2l + 1)^2= 2\underbrace {\left( {4(k^2+ l^2 ) + 4(k + 1) + 1} \right)}_{{\rm{odd}}}$

أي أن مربع c ضعف عدد فردي ، أي أنه ليس مربعين كاملاً .
كذلك فإن a,b ليس زوجيين معاً لأنه أوليان نسبياً .
وينتج من ذلك أن c عدد فردي .
• لنفرض - دون فقد للعمومية - أن a عدد فردي وb عدد زوجي ، ونعلم أن c فردي دائماً .. وبذلك فإن كلاً منa+c و a-c عددان زوجيان ، لذا لنعرف :
$2v = c+ a\,\,\,,\,\,2u = c - a\,$
يمكن الملاحظة من خلال المعادلتين أن u,v أوليان نسبياً لأن a,c أوليان نسبياً .
بحل المعادلتين من أجل a وc فإن :

$c = v + u\,\,,\,\,b = v - u$

• لإيجاد b فإننا نوجد uv :
$uv = \frac{{(c - a)(c + a)}}{4} = \frac{{c^2- a^2 }}{4} = \left( {\frac{b}{2}} \right)^2$
ولكن b عدد زوجي ، لذا فإن $b = 2\sqrt {uv}$ عدد صحيح .
لكن بملاحظة أن u,v أوليان نسبياً .. فإنه إذا كان عدد p يقسم أحدهما .. فلا بد أن $p^2$ يقسمه أيضاً ، وهذا يؤدي إلى أن u,v مربعان كاملان ولذلك نعرف $u = t^2 ,v = s^2$

لذلك بإعادة كتابة المعادلات باستخدامt,s :

$\begin{array}{l}a = s^2 - t^2\\b =2st\\c = s^2+ t^2 \end{array}$

حيث t>s ، وهما أوليان نسبياً وليس فرديين بالتزامن .
وهذا هو الحل العام للثلاثيات الأولية نسبياً .
وبضرب كل متغير بـ r ، فإننا نحصل على المعادلات المذكورة في بداية الموضوع .
• أمثلة
فيما يلي جدول لبعض القيم :