الفضاء المنتظم

Regular Space

تعريف (1) :

نقول عن الفضاء التوبولوجي $X$ بأنه فضاء منتظم (Regular Space ) إذا و فقط إذا لكل مجموعة مغلقة $A$ في $X$ و لكل نقطة $x\notin A$ يوجد لدينا مجموعتين مفتوحتين $U,V$ بحيث $x\in U$ و $A\subseteq V$ و $U \cap V=\phi$ .

بمعنى آخر :

لأي مجموعة مغلقة في الفضاء التوبولوجي و لاي نقطة خارجها يمكن فصلهما بمجموعتين مفتوحتين .

تعريف (2) :

نقول عن الفضاء التوبولوجي $X$ بأنه فضاء $T_3$ إذا و فقط إذا كان الفضاء التوبولجي $X$ هو عبارة عن فضاء منتظم و $T_1$ معاً.

ملاحظة :

الفلسفة من تعريف(2)، هو إضافة شرط $T_1$ وذلك لكي تكون كل نقطة في الفضاء التوبولوجي مجموعة مغلقة بحد ذاتها.

و نشير إلى أن بعض الكتب تعتمد على ان الفضاء المنتظم محقق لشرط $T_1$ دون ذكرها .

لكن هنالك أحد النظريات المكافئة لتعريف الفضاء المنتظم و تنتج من التعريف مباشرة.

نظرية :

الفضاء التوبولوجي فضاء منتظم إذا فقط إذا لاي نقطة $x\in X$ و لاي مجموعة مفتوحة $U\subseteq X$ بحيث $x\in U$ ، يوجد لدينا مجموعة مفتوحة $V\subseteq X$ بحيث $x\in V \subseteq \overline{V} \subseteq U$ .

البرهان :

$\Leftarrow$

لنفرض أن $X$ فضاء منتظم و ليكن $x\in X$ و لتكن $U$ مجموعة مفتوحة بحيث $x\in U$ .

إذن $x\notin X-U$ و $X-U$ مجموعة مغلقة ، لذلك من تعريف الفضاء المنتظم ، يوجد لدينا مجموعتين مفتوحتين $V,W$ بحيث $x\in W$ و $X-U \subseteq V$ و $V\cap W=\phi$ ، الآن $W\subseteq X-V$ و أيضاً $X-V \subseteq U$ .

لذلك $\overline {W} \subseteq X-V$ لأن المجموعة $X-V$ مجموعة مغلقة .

$\therefore$ $x\in W\subseteq \overline {W} \subseteq X-V \subseteq U$

المجموعة $W$ هي المجموعة التي نبحث عنها .

$\Rightarrow$

لنفرض أن $A$ مجموعة مغلقة و $x\notin A$ ، و بالتالي $x\in X-A$ ، و بما ان $X-A$ مجموعة مفتوحة بالفرض يوجد لدينا مجموعة مفتوحة $V\subseteq X$ بحيث :

$x\in V\subseteq \overline{V} \subseteq X-A$

بالحقيقة المجموعتين المفتوحتين اللتين نبحث عنهما أجل الفضاء المنتظم هما $V$ و $X-\overline{V}$ .

مثال ( $T_2 \not\Rightarrow T_3$ ) :

لقد ذكرنا مثال Irrational Slope Topology بفضاء يورزين و كان يملك التوبولوجي المعرف على المستوى الإقليدي التربيعي المغلق الموجب عدة خصائص ، نضيف خاصية أخرى عليه و هي أنه يستحال أن يكون فضاء منتظم :

لنفرض بالتناقض بأنه فضاء منتظم :

لنأخذ المجموعة المغلقة $A$ و النقطة $x\notin A$ ، إذن يوجد لدينا مجموعتين مفتوحتين $U,V$ بحيث $U\cap V=\phi$ ، و $x\in U$ و $A\subseteq V$ ، و بما أن $x\in U$ ، إذن يوجد لدينا مجموعة مفتوحة $W$ بحيث :

$x\in W \subseteq \overline{W} \subseteq U$ ،

و لكن $U\cap V=\phi$ ، ينتج منها $\overline{ V}\subseteq X-U$ ، و بالتالي :

$U\cap \overline{V}=\phi$ ومنها ينتج ان :

$\overline{W}\cap \overline{V}=\phi$ .

وهذا يناقض أحد خواص .

نلاحظ أن $T_3$ يعطي فضاء يورزين $T_{2\frac{1}{2}}$ .و لكن ليس بالضرورة أن يعطي فضاء هاسدورف إقتراني (تام) .

لنرى معاً هذا المثال :

مثال نصف القرص المفتوح ( Half -open disc) :

تكوينه :

لنفرض أن $X=\{(x,y) : y\geq 0\}$ ، و لنأخذ الخط المستقيم $L$ ( على سبيل المثال لنفرضه محور $x$ ) ، و نكون عناصر الأساس لهذا التوبولجي على النحو الآتي :

1) لأي نقطة $p\notin L$ ( أي جميع النقاط التي تقع في $X$ بحيث $y\ne 0$ ) ، سيكون المجموعة المفتوحة لها هو عبارة عن عنصر من عناصر الأساس من الفضاء التوبولوجي المعتاد في المستوى الإقليدي التربيعي ( $({\mathbb{R}}^2,\tau_u \times \tau_u$ ). و التي تشكل قرص مفتوح حول النقطة (Open Ball).

2) و لاي نقطة $p$ على الخط $L$ ، سيكون عبارة عن نصف قرص أو نصف دائرة مفتوحة بحيث تقطع الخط المستقيم $L$ في النقطة $p$ فقط لا غير .

بمعنى آخر : $\{p\}=L\cap U$ .

حيث $U$ نصف قرص مفتوح من الفضاء التبولوجي المعتاد ، مزال منها جميع النقاط التي تقطع الخط $L$ عدى النقطة $p$ .

إذن يصبح التوبولجي المعرف على $X$ هو :

$\tau=\tau_u \cup \{U: \{P\}=L\cap U , \forall p\in L\}$

حيث $\tau_u$ هو الفضاء التوبولوجي المعتاد في المستوى الإقليدي التربيعي.

إدعاء : $(X,\tau)$ فضاء توبولوجي .

الإثبات : متروك للقارىء.

خصائصه :

1) $\tau_u \subseteq \tau$ ، بمعنى آخر أن هذا التوبولوجي أقوى من التوبوجي المعتاد .

و الخاصية واضحة جداً بحيث هو عبارة عن توسعة و زيادة عدد المجموعات المفتوحة فيه عن التوبولوجي المعتاد .

و يمكن القول جبرياً :

لأي نقطة $x$ و لأي عنصر من عناصر الأساس للتوبولوجي المعتاد $B\subseteq B_u$ بحيث $x\in B$ يوجد عنصر من عناصر الأساس من $B'\subseteq B_{\tau}$ بحيث :

$x\in B' \subseteq B$ .

واضحة من تعريف الاساس ( متروكة للقارى للتحقق منها ) .

2) $(X,\tau)$ عبارة عن فضاء يورزين.

أولا : الكلوجير لاي مجموعة مفتوحة في $X$ . ستغلق حدود القرص أو نصف القرص مع جميع النقاط الداخلة للقرص حسب طول قطره .

إذن : نقاط الكلوجير لا يتعدى أي قرص ( خارج الخط $L$ ) .

و لا يتعدى النقاط الخارجة لنصف القرص ( إذا كانت النقطة على $L$ ).

ثانيا : في كلا الحالتين، لأي نقطتين مختلفتين في $X$ ، يمكن احاطتهم بقرصين أو نصفي قرصين بحيث لا يتقاطعوا معاً .

$\therefore$ $(X,\tau)$ عبارة عن فضاء يورزين .

3) $(X,\tau)$ عبارة عن فضاء هاوسدورف تام (إقتراني).

لنعرف الإقتران المحايد( identity function ) $\varphi : (X,tau)\rightarrow (X,\tau_u)$ ، بحيث $\varphi(x)=x ,\forall x\in X$ .

الآن : لاي نقطتين مختلفتين في $p\ne q \in X$ ، لنعرف الإقتران $f:X\rightarrow [0,1]$ ، بحيث :

$f(w)=\left| {\frac{\varphi({w})-\varphi({p})}{\varphi({q})-\varphi({p})}} \right|$

أولاً : الإقتران $f$ إقتران متصل ، لأنه مركب من عدة إقترانات متصلة و هي ( القيمة المطلقة و الإقتران المحايد ) .

ثانياً : $f(p)=0$ و $f(q)=1$ .

$\therefore$ $(X,\tau)$ عبارة عن فضاء هاوسدورف تام ( إقتراني ) .

4) التوبولوجي المكون على $L$ هو التوبولوجي المتقطع (Discrete Topology ).

و ذلك بسبب ان أي نقطة على الخط $L$ يوجد مجموعة مفتوحة من $\tau$ بحيث $\{P\}=U\cap L$ .

5) $L$ فضاء جزئي مغلق ، بسبب أن $X-L$ مجموعة مفتوحة في $X$ .

6) الفضاء $(X,\tau)$ ليس فضاء منتظم .

لنفرض بالتناقض :

لنأخذ المجموعة $A=L-(0,0)$ و النقطة $(0,0)$ .

إذن $A$ مجموعة مغلقة و $(0,0)\notin A$ . لذلك يوجد لدينا مجموعتين مفتوحتين $U,V$ بحيث $(0,0)\in U$ و $A\subseteq V$ و $U\cap V=\phi$ .

و بالتالي : $U\subseteq X-V$ مما يؤدي إلى أن $\overline{U}\subseteq X-V$ ،

إذن : $\overline{U}\subseteq X-V \subseteq X-A \subseteq X- ({L-(0,0)})$

وهذا تناقض بسبب أن في $\overline{U}$ نقاط على خط $L$ حول النقطة صفر غير موجودة في $X-({L-(0,0)})$ .

$\therefore$ $(X,\tau)$ ليس فضاء منتظم .

ملاحظة هامة :

المثال السابق يثبت أنه ليس بالضرورة أنه إذا كان لدينا $\tau_1 \subseteq \tau_2$ بحيث $\tau_1$ يحقق أحد مسلمات الفصل فمنا الضروري ان يحققها $\tau_2$ .

في الحقيقة الخاصيه هذه تتحقق للفضاء هاوسدورف تام ،و يورزين ، $T_0,T_1,T_2$ .

التمارين :

1) أثبت أن أي فضاء جزئي من الفضاء المنتظم هو فضاء جزئي .

2) إذا كان لدينا عدد محدود من فضاء $X_i$ :

فإن حاصل ضربهم $X=\prod\limits_{i=1}^{n} X_i$ يكون فضاء منتظم إذا و فقط إذا كل من $X_i$ عبارة عن فضاء منتظم .

3) ليكن لدينا $(\mathbb{R},\tau)$ حيث عناصر $\tau$ :

لأي $x\ne 0$ يكون لدينا شكل المجموعة المفتوحة هي عبارة عن مجموعة مفتوحة من التوبولجي المعتاد ( Usual Topology )التي تحوي $x$ .

و عند النقطة $0$ يكون شكل المجموعة المفتوحة لها هي على شكل $U-A$ حيث :

$U$ مجموعة مفتوحة في التوبولجي المعتاد . و المجموعة $A=\{ \frac{1}{n}: n\in \mathbb{N}\}$ .

المطلوب :

أ) أثبت أن $(\mathbb{R},\tau)$ عبارة عن فضاؤ توبولوجي .

ب) اثبت انه يحقق مسلمة الفصل الثانية $T_2$ .

ج) أثبت أنه لا يحقق مسلمة الفصل الثالثة $T_3$ .

إرشاد ( ج ) :

استخدم خاصية أرخمديان ( Archimeadian Arthemitic Prpoerty ) .

المراجع :

1) General Topology , Stephen Willard .

2) General Topology , Paul Long.

3) Counterexamples In Topology , Steen and Seebach.

analysis

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

الفضاء المنتظم

Regular Space

مثال نصف القرص المفتوح ( Half -open disc) :

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة