التقارب المطلق في الضرب اللانهائي

Absolutely Convergent in Infinite Product

تعريف 1: الضرب اللانهائي \prod\limits_{n = 1}^\infty {(1 + a_n )} متقارب مطلقا absolutely convergent إذا كان \prod\limits_{n = 1}^\infty {(1 + \left| {a_n } \right|)} متقارب.

نظرية 1: إذا كان الضرب اللانهائي \prod\limits_{n = 1}^\infty {(1 + a_n )} متقارب مطلقا فإنه متقارب.

مختصر البرهان: ليكن P_n = \prod\limits_{k = 1}^n {(1 + a_k )} و Q_n = \prod\limits_{k = 1}^n {(1 + \left| {a_k } \right|)} . بما أن

P_n - P_{n - 1} = a_n \prod\limits_{k = 1}^{n - 1} {(1 + a_k )} ,\quad Q_n - Q_{n - 1} = \left| {a_n } \right|\prod\limits_{k = 1}^{n - 1} {(1 + \left| {a_k } \right|)}

فإن

\left| {P_n - P_{n - 1} } \right| \le Q_n - Q_{n - 1}

وبما أن \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } Q_n موجودة لأن الضرب اللانهائي متقارب مطلقا فإن

\sum\limits_{n = 2}^\infty {(Q_n - Q_{n - 1} )}

متقاربة وعليه فإن \sum\limits_{n = 2}^\infty {(P_n - P_{n - 1} )} متقاربة أيضا وبالتالي \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } P_n موجودة.

بقي إثبات أن هذه النهاية لا تساوي صفر. بما أن \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left| {a_n } \right|} فإن \left| {1 + a_n } \right| \ge \frac{1}{2} لقيم كبيرة n ولذلك وباستخدام المقارنة \frac{{\left| {a_n } \right|}}{{\left| {1 + a_n } \right|}} \le 2\left| {a_n } \right| تتقارب المتسلسلة \sum\limits_{}^{} {\left| {\frac{{a_n }}{{1 + a_n }}} \right|} وعليه يتقارب مطلقا الضرب اللانهائي

\prod\limits_{n = 1}^\infty {\left( {1 - \left| {\frac{{a_n }}{{1 + a_n }}} \right|} \right)}

بتطبيق نتيجة الجزء الأول من هذا البرهان النهاية \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {1 - \frac{{a_k }}{{1 + a_k }}} \right)} موجودة. ولكن

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {\left( {1 - \frac{{a_k }}{{1 + a_k }}} \right)} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{1 + a_k }}} = \frac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P_n }}

وبهذا يثبت المطلوب.