الجبرة على مجموعة

الجبرة على مجموعة
Algebra over a Set

تعريف1: الجبرا على مجموعة X algebra over a set عبارة عن تجمع غير خال $\mathfrak{A}$ لمجموعات جزئية من X مغلق تحت عملية التكميل compelement وتحت عملية الاتحاد.

بمعنى آخر الجبرة على X عبارة عن تجمع $\mathfrak{A}$ لمجموعات من X بحيث إذا كانت $A,B \in \mathfrak{A}$ فإن

1) $A^c \in \mathfrak{A}$ .

2) $A \cup B \in \mathfrak{A}$ .

نتائج مباشرة

1) $X,\emptyset \in \mathfrak{A}$

بما أن $\mathfrak{A}$ غير خال يوجد $E \in \mathfrak{A}$ وبالتالي $E^c \in \mathfrak{A}$ وبما أن $E^c \cup E = X$ فإننا نستنتج أن $X \in \mathfrak{A}$ وعليه $\emptyset \in \mathfrak{A}$ باعتبارها مكملة X.

2)كل جبرة على مجموعة X عبارة عن حلقة مجموعات من X وذلك لأن

$A\backslash B = A \cap B^c = (A^c \cup B)^c$

والعكس صحيح, كل حلقة مجموعات $\mathfrak{A}$ من X وتحوي X هي جبرة على X. وذلك لأنه إذا كانت $A \in \mathfrak{A}$ فإن $X\backslash A \in \mathfrak{A}$ .

3) الجبره $\mathfrak{A}$ مغلقة تحت عملية التقاطع من قانون ديمورغان $A \cap B = (A^c \cup B^c )^c$ . إذا $A \cap B \in \mathfrak{A}$ عندما $A,B \in \mathfrak{A}$ .

4) إذا كانت $A_1 ,A_2 , \ldots ,A_n \in \mathfrak{A}$ فإن

$\begin{gathered} A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n \in \mathfrak{A} \hfill \\ A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n \in \mathfrak{A} \hfill \\ \end{gathered}$

هذا ينتج باستخدام الاستقراء الرياضي (التراجع) . إذا $\mathfrak{A}$ مغلقة تحت عملية التقاطع المنتهي والاتحاد المنتهي.

5) تقاطع أي عدد من الجبريات يعطي جبرة.لبيان هذا افرض أن $\mathfrak{S}$ تجمع لجبريات على X وأن

$\mathfrak{A} = \cap \{ \mathfrak{B}:\mathfrak{B} \in \mathfrak{S}\}$

إذا كان $A,B \in \mathfrak{A}$ فإن $A,B \in \mathfrak{B}$ وبالتالي $A \cup B \in \mathfrak{B}$ وذلك لكل $\mathfrak{B} \in \mathfrak{S}$ إذا $A \cup B \in \mathfrak{A}$ . بنفس النقاش نثبت أن $A^c \in \mathfrak{A}$ عندما $A \in \mathfrak{A}$ .

أمثلة على الجبرات

1) مجموعة القوة $P(X)$ لمجموعة X. كحالة خاصة التجمع $\{ \emptyset \}$ المكون من المجموعة الخالية فقط.

2) لتكن X غير عدودة (غير قابلة للعد) . التجمع F لكل المجموعات الجزئية من X العدودة (القابلة للعد) أو مكملتها عدودة.

هناك دائما أصغر جبرا تحوي تجمع معطى D كما تبين الحقيقة التالية. مثل هذه الجبرة تسمى الجبرة المولدة بواسطة D ورمزها $A(D)$ .

حقيقة2: ليكن $D$ تجمع لمجموعات جزئية من X. يوجد أصغر جبرا $A(D)$ بحيث تحوي D بمعنى أنه إذا كانت $\Gamma$ أي جبرا تحوي D فإن $A(D) \subset \Gamma$ .

البرهان: ليكن $\mathfrak{C}$ عائلة جميع الجبريات التي تحتوي D. بالطبع $\mathfrak{C}$ غير خالية لأن $P(X) \in \mathfrak{C}$ . اجعل

$A(D) = \cap \{ \mathfrak{B}:\mathfrak{B} \in \mathfrak{C}\}$

إذا $A(D)$ جبرة تحوي D لأنها تقاطع لجبريات تحوي D. لإثبات أنها أصغر جبرة خذ $\mathfrak{B}$ أي جبرا تحوي D. من تعريف $A(D)$ نستنتج أن $A(D) \subset \mathfrak{B}$ ويثبت المطلوب.

الحقيقة التالية سبق ذكرها وبرهنتها في موضوع حلقات المجموعات, بما أن كل جبرة على X تشكل حلقة مجموعات وبما أن الجبرة و سيجما-الجبرة أدوات مهمة في نظرية القياس سنعيد تقرير الحقيقة هنا نسبة إلى الجبرة ونحيل الراغب في الإطلاع على برهانها إلى موضعها الأصلي.

حقيقة3: لتكن $(A_n )$ متتابعة لمجموعات في جبره $\mathfrak{A}$ عندئذ توجد متتابعة $(B_n )$ في $\mathfrak{A}$ من مجموعات منفصلة بحيث $B_n \subset A_n$ و $\cup A_n = \cup B_n$ .

حقيقة4: إذا كانت $A(D)$ الجبرة المولدة بواسطة التجمع D فإن أي مجموعة A من $A(D)$ نستطيع تغطيتها باتحاد منتهي لمجموعات من D. هذا يعني وجود $A_1 ,A_2 , \ldots ,A_n \inD$ بحيث

$A \subset \bigcup\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} {A_i }$

البرهان: التجمع U لكل المجموعات التي يمكن تغطيتها باتحاد منتهي لمجموعات من D يمثل جبرة تحتوي D تحقق من هذا. بما أن $A(D)$ أصغر جبرة تحوي D فإن $A(D) \subset U$ ويثبت المطلوب.

نظرية5: إذا كان D تجمع عدود (قابل للعد) لمجموعات فإن حلقة المجموعات المولدة $R(D)$ عدودة.

للبرهان انظر Measure Theory By Paul Halmos.

المراجع

P R Halmos, Measure Theory
Royden, Real Analysis
http://en.wikipedia.org/wiki/Field_of_sets">http://en.wikipedia.org/wiki/Field_of_sets

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

الجبرة على مجموعة