تعريف و خصائص منصف زاوية

إذا كانت ABC زاوية فإن هناك مستقيم وحيد يقسم الزاوية إلى زاويتين متجاورتين متساويتين. هذا المستقيم يسمى منصف الزاوية.

$منصف الزاوية$

من خصائص منصفات الزوايا في مثلث ما يلي

حقيقة 1 : منصفات زوايا المثلث ABC تلتقي في نقطة واحدة لها بعد ثابت عن أضلاع المثلث. هذه النقطة تسمى نقطة التقاء المنصفات Incenter Point.

الإثبات: ارسم منصفات الزوايا. ولتكن P نقطة تقاطع المنفين النازلين من A,B. من النقطة P اسقط أعمدة على الأضلاع تلتقي معها في النقاط D,E,F.

من تطابق المثلثين AMF, AME ينتج أن

PE=PF

من تطابق المثلثين BMF, BMD ينتج أن

PF=PD

إذا PE=PD وهذا يعني أن P لها نفس البعد عن أضلاع المثلث كما يثبت أنها تقع على منصف الزاوية ACB لأن بعدها ثابت عن ضلعي الزاوية وبهذا تثبت الحقيقة.

أيضا من خصائص منصف زاوية في مثلث أنه يقسم الضلع المقابل لها بنسبة الضلعين الآخرين. علي سبيل المثال

$\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$

حيث M نقطة تقاطع منصف الزاوية A مع الضلع BC.

للمزيد حول هذه النظرية وتعميمها انظر نظرية منصف الزاوية المعممة

من هذه الخاصية مع نظرية سيفا نستطيع تقديم برهان آخر على التقاء منصفات زوايا المثلث في نقطة واحدة. لنظرية سيفا وبرهانها انظر

طول منصف الزاوية A ورمزه LA يعطى بالقانون

$L_A^2 = bc - \frac{{bca^2 }}{{(b + c)^2 }}$

حيث a,b,c أطوال الأضلاع المقابلة للزوايا A,B,C على الترتيب.

ابحث