تثليث الزاوية

Angle Trisection

اهتم اليونانيون القدامى بمسألة تثليث الزواية وكانت احدى اهم المسائل الهندسية الى جانب مسألة تربيع الدائرة^[م] وتضعيف المكعب. والمقصود بتثليث الزاوية طريقة عملية لرسم مستقيم يقسم الزاوية الى جزئين احدهما ثلث الزاوية. مسألة تنصيف الزاوية باستخدام الفرجار والمسطر (الغير مدرجة) مسألة بسيطة ومحسومة . من الطبيعي بعد ذلك ان يتم التفكير في تثليث الزاوية , ولم يكن الأمر كما هو في حالة التنصيف. فيما بعد اثبت استحالة تثليث الزاوية بشكل عام باستخدام حافة مستقيمة وفرجار, ذكر ذلك جاوس Gauss وقدم الاثبات عليه وينزل Wantzel في العام 1837م.

حالات خاصة من الزوايا يمكن تثليثها بالمسطرة الغير مدرجة والفرجار. مثلا في حالة الزاوية القائمة يمكن تثليثها من خلال رسم دائرتين متساويتين في طول نصف القطر, مركز الأولى على رأس الزاوية ومركز الثانية على نقطة تقاطع الدائرة^[م] الأولى مع أحد ضلعي الزاوية. المثلث الناشيئ ABC متطابق الأضلاع , لأن أضلاعه أنصاف أقطار. بالمناسبة هذه الطريقة تضمنت إمكانية رسم الزاوية 60 درجة بواسطة حافة مستقيمة وفرجار فقط وهذا ليس ممكن لي زاوية^[م] بشكل عام , فالزاوية 20 درجة لا يمكن رسمها بهذه الطريقة.

إذا استبدلنا المسطرة بأخرى مدرجة فإن تثليث الزاوية (اي زاوية^[م]) باستخدام مسطرة مدرجة وفرجار أمر ممكن على الدوام. وهناك عدة طرق قدمها اليونانيون القدامي للوصول الى زاوية^[م] تعادل ثلث الزاوية المعطاه ونظرا لأن هذه المسألة كانت من اهم المسائل في ذلك الوقت فسنعرض لها بشيء من التفصيل.

الطريقة الأولى : وتعود الى اليوناني ابوقراط Hippocrates وتسير على النحو التالي:

ليكن لدينا الزاوية ABC , وقياسها 3x . من A ارسم العمودي على الضلع المقابل ويتقاطع معه في D ثم نكمل رسم المستطيل ADBE. مد الضلع EA بشكل كاف ليتقاطع معه المستقيم BH في النقطة H , والذي رسمناه بحيث FH=2BA. لتكن G منتصف القطعة FH .

حيث طول المتوسط في المثلث القائم يساوي نصف طول الوتر^[م] نستنتج ان

AG = FG = HG

إذا فرضنا أن $\angle AHG = x$ فإن $\angle HBC = x$ لأن BC يوازي AH . كذلك $\angle HAG = x$ وبالتالي $\angle AGB = 2x$ لأنها خارجية في المثلث AGH. إذا $\angle ABG = 2x$ لأن المثلث ABG متطابق الضلعينوبهذا استطعنا تثليث الزاوية ABC بواسطة المستقيم BH.

الطريقة الثانية: وتنسب الى ارخميدس Archimedes الذي عاش قبل الميلاد بقرنين من الزمان والفكرة مشابهة لما سبق لكن بالاعتماد على الدائرة^[م] لنتمكن من رسم زاوية^[م] اخرى تعادل ثلث الزاوية المعطاه.

فإذا كانت ABC زاوية^[م] اختيارية. ارسم الدائرة^[م] التي مركزها B . من A على الدائرة^[م] ارسم مستقيم يلتقي BC في النقطة E واختر هذه النقطة بحيث يكون طول القطعة ED مساو لطول نصف القطر وهذا أمر ممكن . الآن قياس الزاوية AEC يساوي ثلث قياس الزاوية ABC.

للتأكد من ذلك افرض أن $\angle DEB = x$ إذا $\angle DBE = x$ لأن DEB مثلث متطابق الضلعين. وبالتالي $\angle ADB = 2x$ لأنها خارجية في هذا المثلث. وعليه فإن $\angle DAB = 2x$ لأن DAB مثلث متطابق الضلعين. إذا $\angle ABD = 180 - 4x$ , إذا $\angle ABC = 3x$ .

الآن ارسم (باستخدام الفرجار والمسطرة) BP مواز للمستقيم EA . واضح أن $\angle PBC = \frac{1}{3}\angle ABC$ .

الطريقة التالية تنسب الى الأغريقي هيباس Hippias الذي عاش في الفترة ما بين الثالث والرابع قبل الميلاد حيث يعتقد انه ولد عام 450 ق. م , ولتفريق بينه وبين شخص آخر يحمل نفس الاسم يقرن اسمه باسم البلدة أو المدينة التي ولد فيها فيقال (Hippias of Elis) .

الطريقة المنسوبة الى هيباس ليست فقط لتثليث الزاوية وانما لتقسميها إلى اي عدد من الأجزاء المتساوية. اعتمد هيباس على رسمه لمنحنى يسمى كوادراتركس Quadratrix وربما يكون هو أول منحنى عرف في الرياضيات بعد الدائرة^[م] ويمكن توصيف هذا المنحنى كما يلي:

ارسم مربعا ABCD يحيط بقوس من دائرة^[م] (ربع دائرة^[م]) AED كما في الشكل. إذا تحرك نصف القطر AB الى الموضع AE وتحرك الضلع BC بنفس النسبة ووصل الى الموضع B'C' فإن نقطة التقاطع F تقع على منحنى الكوادراتركس. إذا منحنى الكوادراتركس هو المحل الهندسي للنقطة F الناتجة من التقاطع الناتج من الوضع النهائي لحركة نصف القطر AB بنسبة معينة من القوس^[م] والوضع النهائي لحركة الضلع BC بنفس النسبة من الضلع AB.

لتقسيم الزاوية EAD بنسبة m:n قم برسم القطعة FH كما في الشكل واقسمها بواسطة النقطة P بنسبة m:n . من P نرسم خط افقى يلاقي الكوادراتركس في النقطة Q . من هذه النقطة نرسم QA لنحصل على تقسيم للزاوية EAD بالنسبة المعطاه.

الجزء الذي رسمه هيباس هو جزء صغير من منحنى يحمل اليوم نفس الاسم "كوادراتركس" ومعادلة الكارتيزية
$y = x\cot (\pi x/2a)$ ومعادلته القطبيه $r = 2a\theta /(\pi \sin \theta )$ .

طريقة ابولونيوس: ابولونيوس , واحد من اعظم رياضي الاغريق, وللتفريق بينه وبين علماء اغريق آخرين بنفس الإسم يطلق عليه (Apollonius of Perga ) وكتابة المخاريط (CONICS) نقل لنا آخر منجزاتهم في علم المخروط والقطوع المخروطية , وأول ما من قدم المصطلحات parabola, ellipse and hyperbola والتي تعني القطع المكافيء , القطع الناقص و القطع الزائد.

طريقة ابولونيوس في تثليث الزاوية نقلها آخر الرياضييين الاغريق المعروفين ويدعى بابوس الاسكندرية Pappus of Alexandria . تعتمد الطريقة على القطع المكافئ ونعرضها فيما يلي.

في القسم الأيسر من الصورة قطعة AB . المحل الهندسي للنقطة P والذي يجعل الزاوية PAB نصف الزاوية PBA هو عبارة عن قطع مكافئ بؤرته B ودليله هو العمود المنصف للقطعة AB.

القسم الأيمن من الصورة يوضح طريقة ابولونيوس في تثليث الزاوية AOB . حيث نبدا برسم دائرة^[م] مركزها راس الزاوية وتقاطع ضلعيها عند A,B . ارسم القطع المكافي الذي بؤرته B واختلافه المركزي 2 والذي يقاطع الدائرة^[م] في P كما هو واضح في الصورة. كلا الزاويتين PBA , PAB محيطية في الدائرة^[م] والأولى نصف الثانية وكل واحدة منهما تساوي نصف الزاوية المركزية التي تحصر القوس^[م] نفسه المحصور بين ضلعيها. إذا الزاوية POB تعادل نصف الزاوية POA . اي أن PO مستقيم تثليث للزاوية AOB.

طريقة نيكوميدس : في طريقة ارخميدس مر معنا كيف استخدمنا المسطرة والتي عليها نقطتين تحددان مسافة ثابتة وكيف احتنا آنذاك ان تبقى احدى النقط ثابتة على الخط المستقيم . حاول اليوناني نيكوميدس Nicomedes الذي عاش في القرن الثاني قبل الميلاد, وضع مسألة تحريك المسطرة مع بقاء نقطة ثابتة منها على مستقيم XY في وضع نظامي أو مقنن باستحداثه لمنحنى الكنشوئيد وهذه التسمية مشتقة من كلمة يونانية تعني الصدفة أو المحارة .

المنحنى أعلى المستقيم XY في الصورة يبين منحنى الكنشوئيد الذي قصده نيكوميدس حيث المسطرة AC ذات المسافة الثابتة BC أو قل العلامتين B,C عليها والمسطرة تتحرك حول النقطة A بحيث لا تغادر العلامة عند B المستقيم والعلامة الأخرى من المسطرة هي التي ترسم لنا المنحنى. المستقيم AE يمثل أحد أوضاع هذه الحركة حيث عند النقطة D توجد العلامة على المسطرة التي كانت عند النقطة B والنقطة E عندها العلامة التي كانت عند النقطة C. إذا DE=BC.

المنحنى الواقع أسفل المستقيم XY هو المحل الهندسي الذي ترسمه نقطة F واقعة على امتداد المسطرة (على المستقيم AE) والتي بعدها عن العلامة من المسطرة التي على المستقيم XY يساوي الطول BC أسفل المستقيم يوجد منحنيين أحدهما ذو العقدة هو ما نحصل عليه عندما يكون بعد A عن XY أصغر من الطول BC والآخر عندما يكون بعد A عن XY أقل من BC. ربما لم يناقش الجز السفلي من المنحنى قديما وعلى العموم يطلق على هذين المنحنيين (أعلى الستقيم واسفل المستقيم) معا منحنى الكنشوئيد. وباختصار شديد لفهم الشكل العام لمنحنى الكنشوئيد , احضر مسطرة وضع علامة في منتصفها , وخذ نقطة خارج المستقيم XY , الآن حرك المسطرة بالدوران حول A , طرفا المسطرة أثناء هذه الحركة يرسمان المنحنى العلوى والسفلي من الكنشوئيد.

استخدم نيكوميدس هذا المنحنى في حل مسالة تثليث الزاوية , مع العلم انه من الناية العملية مسألة تحريك المسطرة في طريقة ارخميدس حتى نحصل على الوضع المطلوب أسهل عمليا من رسم كنشوئيد وتثليث الزاوية بواسطته.

مراجع
بعض الرسومات وبعض المعلومات من الموقع الخاص بتاريخ الرياضيات
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Trisecting_an_angle.html

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
LaTeX formulas are automatically converted into images.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <em> <center> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.