متباينة الوسط الحسابي - الوسط التوافقي (م ح - م ت)

Arithmetic Mean - Harmonic Mean Inequality

إذا كانت $a_1 ,a_2 ,.........,a_n$ أعداد موجبة فإن المتوسط الحسابي Arithmetic Mean ( ونرمز له بالرمز م ح) لهذه الأعداد هو حاصل جمعها مقسوما على عددها. أي أن

$AM = \frac{{a_1 + a_2 + \cdots + a_n }}{n}$

والمتوسط التوافقي Harmonic Mean لها ( ونرمز له بالرمز م ت) هو مقلوب الوسط الحسابي لمقلوبات هذه الأعداد . أي أن

$HM = \frac{n}{{\frac{1}{{a_1 }} + \frac{1}{{a_2 }} + \ldots + \frac{1}{{a_n }}}}$

هناك علاقة تباين (تفاوت) مهمة تربط بين الوسط الحسابي والوسط التوافقي وتسمى متباينة الوسط الحسابي - الوسط التوافقي وهي :

$\frac{n}{{\frac{1}{{a_1 }} + \frac{1}{{a_2 }} + \ldots + \frac{1}{{a_n }}}} \le \frac{{a_1 + a_2 + \ldots + a_n }}{n}$

أي أن $HM \le AM$ ويتحقق التساوي إذا وفقط إذا كانت كل $a_1 = a_2 =....= a_n$ .

للإثبات : نعلم من متباينة الوسط الحسابي - الوسط الهندسي (م ح - م هـ) أن :

$(a_1 a_2 \, \ldots \;a_n )^{\frac{1}{n}} \le \frac{{a_1 + a_2 + \ldots + a_n }}{n}$

طبق نفس المتباينة ولكن على المتتابعة $\frac{1}{{a_1 }},\frac{1}{{a_2 }}, \ldots ,\frac{1}{{a_n }}$ . إذا

$\frac{1}{{\left( {a_1 a_2 \ldots a_n } \right)^{1/n} }} \le \frac{{\frac{1}{{a_1 }} + \frac{1}{{a_2 }} + \ldots + \frac{1}{{a_n }}}}{n}$

بالتعويض في المتباينة السابقة عن المتوسط الهندسي GM نصل للعلاقة بين المتوسط الحسابي والمتوسط التوافقي .

الحقيقة أننا تصولنا لما هو ابعد من ذلك وهي العلاقة بين المتوسطات الثلاثة الحسابي والهندسي والتوافقي. تحديدا

$\frac{n}{{\frac{1}{{a_1 }} + \frac{1}{{a_2 }} + \ldots + \frac{1}{{a_n }}}} \le \left( {a_1 a_2 \ldots a_n } \right)^{1/n} \le \frac{{a_1 + a_2 + \ldots + a_n }}{n}$

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

متباينة الوسط الحسابي - الوسط التوافقي (م ح - م ت)

Arithmetic Mean - Harmonic Mean Inequality

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة