العناصر المتشاركة

Associated Elements

تعريف

لتكن R حلقة إبدالية ذات محايد. نقول أن $a,b \in R$ متشاركان associated (في R) أو نقول أن a يشارك b (a associates b) إذا كان a يقسم b و b يقسم a.

أمثلة

1. في الحلقة $\mathbb{Z}$ العنصران m,n متشاركان إذا وإذا فقط $m = \pm n$ وذلك لأن عناصر الوحدة في $\mathbb{Z}$ هي

$U(\mathbb{Z}) = \{ + 1, - 1\}$

2. في الحلقة $\mathbb{Z}_8$ عناصر زمرة الوحدات هي $U(\mathbb{Z}_8 ) = \{ 1,3,5,7\}$ لذلك العناصر المشاركة $2$ هي $2,6$ حيث

$2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot 5\quad 2 = 6 \cdot 3$

بينما العناصر المشاركة $3$ هي كل عناصر $U(\mathbb{Z}_8 )$ .

3. برغم أن العنصرين $1,2$ غير متشاركين في $\mathbb{Z}$ لكنهما متشاركان كعنصرين من حلقة أكبر وهي حلقة الأعداد النسبية $\mathbb{Q}$ حيث $1 = \frac{1}{2} \cdot 2$ .

بعض الحقائق في العناصر المتشاركة

هذه بعض الخصائص المميزة للعناصر المتشاركة في الحلقة الإبدالية ذات المحايد وفي الحلقة التامة.

حقيقة1: لتكن R حلقة إبدالية ذات محايد فإن:

1. العنصران $a,b \in R$ غير الصفريين متشاركين إذا وإذا فقط $(a) = (b)$

2. علاقة التشارك والتي نشير إليها بالرمز $\sim$ علاقة تكافؤ على R. فصل التكافؤ الذي يحوي $a \in R$ له الشكل

$[a] = \{ au:u \in U(R)\}$

حيث $U(R)$ الزمرة الضربية لعناصر الوحدة في R.

ملخص البرهان:

1. نعلم أن $(a) \subset (b)$ إذا وإذا فقط $b|a$ الآن الطريقة واضحة.

2. الإثبات لا يتطلب أكثر من محاورة تقليدية.

حقيقة2: لتكن R حلقة تامة عندئذ $a,b \in R$ عنصرين متشاركين إذا وإذا فقط كان $a = bu$ حيث $u \in R$ عنصر وحدة.

البرهان:

افرض أن $a,b \in R$ متشاركان. إذا $a = bu$ و $b = as$ لبعض $u,s \in R$ وبالتالي $b = (bu)s = b(us)$ وحيث R حلقة تامة يمكن اختصار b بقانون الضرب لينتج $1 = us$ ومنه فإن u عنصر وحدة.