فضاء باناخ Lp

Banach Spaces Lp

كل معيار $\left\| . \right\|$ على فضاء معياري X ينتج عنه دالة مسافة metric (أو مترك) d حيث

$d(x,y) = \left\| {x - y} \right\|$

وذلك لكل $x,y \in X$ . يمكن بسهولة (باستخدام خواص المعيار) التحقق من أن شروط دالة المسافة متحققة على d, لذلك يمكن الحديث عن تقارب المتتابعات في الفضاء المعياري وخاصية التمام completion وما إلى ذلك من خواص الفضاءات المترية.

تذكر, $L_p (\mu )$ فضاء معياري, الفضاء المعياري التام يسمى فضاء باناخ Banach space. فيما يلي نثبت أن فضاءات $L_p (\mu )$ عبارة عن فضاءات باناخ سنناقش الحالة $1 \le p < \infty$ أولا ثم الحالة $p = \infty$ .

مبرهنة1: لأي $1 \le p < \infty$ , $L_p (\mu )$ هو فضاء باناخ, أي تام كفضاء متري.

البرهان: لتكن $(f_n )$ متتابعة كوشي من دوال في $L_p (\mu )$ . يوجد متتابعة جزئية $(f_{n_i } )$ بحيث

$\left\| {f_{n_{i + 1} } - f_{n_i } } \right\|_p < \frac{1}{{2^i }}\quad (1)$

اجعل

$g_k = \sum\limits_{i = 1}^k {\left| {f_{n_{i + 1} } - f_{n_i } } \right|} ,\quad g = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } g_k = \sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {f_{n_{i + 1} } - f_{n_i } } \right|} ,$

بما أن $(1)$ متحققة نستنتج من متباينة منكوسكي أن

$\left\| {g_k } \right\|_p = \sum\limits_{i = 1}^k {\left\| {f_{n_{i + 1} } - f_{n_i } } \right\|} < 1$

طبق حقيقة فاتو على $(g_k^p )$ للحصول على

$\int {g^p d\mu } \le \lim \inf \int {\left( {\sum\limits_{i = 1}^k {\left| {f_{n_{i + 1} } - f_{n_i } } \right|} } \right)^p d\mu }$

خذ القوة $1/p$ للطرفين وطبق متباينة منكوسكي لتحصل على

$\left\| g \right\|_p \le \lim \inf \sum\limits_{i = 1}^k {\left\| {f_{n_{i + 1} } - f_{n_i } } \right\|_p } \le 1$

إذا $g^p$ قابلة للتكامل وبالتالي $g(x) < + \infty \;\mu - a.e.$ . أي أن المتسلسلة

$f_{n_1 } + \sum\limits_{i = 1}^\infty {(f_{n_{i + 1} } - f_{n_i } )} \quad (2)$

متقاربة مطلقا converges absolutely على $X\backslash X_o$ حيث $X_o$ مجموعة قياسها صفر. اجعل في هذه الحالة $f(x)$ تشير إلى مجموع المتسلسلة $(2)$ وضع $f(x) = 0$ على $X_o$ . بما أن

$f_{n_1 } + \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {(f_{n_{i + 1} } - f_{n_i } )} = f_{n_k }$

فإن $f(x) = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } f_{n_k } (x)$ على $X\backslash X_o$ .

بعد أن أثبتنا وجود دالة f هي النهاية النقطية للمتتابعة $(f_{n_i } )$ على $X\backslash X_o$ الهدف الآن هو إثبات أنها هي النهاية المنشودة للمتابعة $(f_n )$ في $L_p (\mu )$ . خذ $\varepsilon > 0$ . يوجد عدد N بحيث لكل $m,n > N$ لدينا

$\left\| {f_m - f_n } \right\|_p < \varepsilon$

إذا كانت $m > N$ طبق حقيقة فاتو لتحصل على

$\int {\left| {f - f_m } \right|^p d\mu } \le \lim \inf \int {\left| {f_{n_i } - f_m } \right|^p d\mu } = \left\| {f_m - f_n } \right\|_p^p \le \varepsilon ^p$

وبالتالي

$\left\| {f - f_m } \right\|_p \le \varepsilon \quad (3)$

إذا $f - f_m \in L_p (\mu )$ ومنه $f \in L_p (\mu )$ لأن $L_p (\mu )$ فضاء خطي. أيضا متباينة $(3)$ تثبت أن $(f_n )$ متقاربة في $L_p (\mu )$ إلى f وبهذا ينتهي البرهان.

مبرهنة2: الفضاء المعياري $L_\infty (\mu )$ هو فضاء باناخ.

البرهان: لتكن $(f_n )$ متتابعة كوشي من دوال في $L_\infty (\mu )$ . عرف

$\begin{array}{*{20}c} {A_k } \hfill & { = \{ x:\left| {f(x)} \right| > \left\| {f_k } \right\|_\infty \} } \hfill \\ {B_{m,n} } \hfill & { = \{ x:\left| {f_n (x) - f_m (x)} \right| > \left\| {f_n - f_m } \right\|_\infty \} } \hfill \\\end{array}$

كلا من $A_k ,\;B_{m,n}$ مقياسها صفر وبالتالي المجموعة

$X_0 = \left( {\bigcup\limits_{n = 1}^\infty {A_k } } \right) \cup \left( {\bigcup\limits_{m,n = 1}^\infty {B_{m,n} } } \right)$

مقياسها صفر لأنها إتحاد عدود لمجموعات قياسها صفر. إذا $(f_n (x))$ متتابعة كوشي وذلك لأي x من $X\backslash X_0$ إذا ومن تمام $\mathbb{C}$ ينتج أن $f_n (x) \to f(x)$ تقريبا على X. المتتابعة $\left\| {f_k } \right\|_\infty$ محدودة وذلك لأن كل متتابعة كوشي محدودة, إذا يوجد M بحيث $\left\| {f_k } \right\|_\infty \le M$ . إذا

$\left| {f_k (x)} \right| \le M\quad {\rm{for all }}x \in X\backslash X_0$

ومنه $\left| {f(x)} \right| \le M$ لكل $x \in X\backslash X_0$ . إذا جعلنا $f = 0$ على $X_0$ فإن $f \in L_\infty (\mu )$ لأن $\left\| f \right\|_\infty \le M$ كما أن $\left\| {f_n - f} \right\|_\infty \to 0$ وبهذا ينتهي الإثبات.