متطابقة بيزوه Bézout

Bézout Identity

المتطابقة التالية سميت باسم الرياضي الفرنسي بيزوه رغم أنها معروفة من قبله وقد أثبتها على حلقات الحدوديات R[x] التامة التي فيها كل مثالية أساسية principal ideal والحقيقة أنها متحققة على كل principal ideal domain ونشير إليه بالاختصار PID.

نظرية 1 (متطابقة بيزوه Bézout): إذا كان d هو القاسم المشترك الأكبر للعددين a,b فإنه يوجد صحيحين x,y بحيث

ax+by=d

البرهان: من تعريف القاسم المشترك الأكبر, أحد العددين a,b لا يساوي صفر. لذا افرض ان a لا يساوي صفر. عرف المجموعة A كما يلي

$m,n \in \mathbb{Z}\}$

المجموعة A غير خالية فهي تحوي على |a|. إذا حسب مبدأ الترتيب الحسن well-ordering principle المجموعة A لها عنصر أصغر smallest element وليكن d. إذا

d=xa+yb

حيث x,y صحيحين.

من خوارزمية القسمة هناك q,r بحيث a=qd+r. r=0 لأن خلاف ذلك يعني أن المقدار

0<r=a-qd=a-q(xa+yb)=at+bs

ينتمي إلى A وهذا مستحيل لأن r<d. إذا r=0 وبالتالي d يقسم a. بالمثل d يقسم b. إذا d هو القاسم المشترك الأكبر للعددين a,b, لأنه إذا كان e قاسم مختلف لعددين a,b فهو يقسم التركيب الخطي

d=xa+yb

أي أن e يقسم d.

نتيجة 1: إذا كان a,b عددين صحيحين موجبين فإن $(a,b) = 1$ إذا وإذا وفقط وجد عددين صحييين x,y بحيث

$ax + by = 1$

البرهان: شرط الضرورة نتيجة مباشرة من متطابقة بيزوه. بالنسبة لشرط الكفاية , افرض أن

$ax + by = 1$

وليكن $(a,b) = d$ , بقسمة المساواة على d ينتج أن $1/d$ عدد صحيح إذا $d=1$ .

هذه النتيجة تبين أن عكس متطابقة بيزوه صحيح عندما يكون العددان a,b أوليان نسبيا. فيما عدا ذلك فليس بالضرورة أن يكون الحد الثابت k في المعادلة

$ax + by = k$

هو القاسم المشترك الأكبر للعددين a,b . النتيجة التالية تبين لنا علاقة العدد k بالقاسم المشترك الأكبر للعددين a,b فهو ليس سوى أحد مضاعف القاسم المشترك الأكبر d.

نتيجة 2: إذا كان d هو القاسم المشترك الأكبر للعددين a,b فإن

$m,n \in \mathbb{Z}\} = d\mathbb{Z}$

الإثبات: افرض $m,n \in \mathbb{Z}\}$ . الاحتواء $X \supset d\mathbb{Z}$ متحقق وهذا واضح باستخدام متطابقة بيزوه. في المقابل d يقسم am+bn مهما كان m,n من Z. إذا am+bn=kd وبالتالي $X \subset d\mathbb{Z}$ وبهذا يثبت المطلوب.