مجموعات بورل

Borel Sets

تعريف1: أي مجموعة B نتتمي إلى $\sigma$ -الجبرا $\mathfrak{B}$ المولدة بواسطة جميع المجموعات المفتوحة من فضاء تبولوجي X تسمى مجموعة بورل. في هذه الحالة إذا كان Y فضاء تبولوجي فكل دالة $f:X \to Y$ قابلة للقياس تسمى دالة بورل القابلة للقياس Borel Measurable Function وللاختصار تسمى دالة أو تطبيق بورل Borel Mapping.

كل مجموعة مغلقة هي مجموعة بورل وذلك لأن مكملة المجموعة المفتوحة مجموعة مغلقة. كذلك اتحاد قابل للعد أو تقاطع قابل للعد لمجموعات مفتوحة هو مجموعة بورل. من حيث التوليد $\mathfrak{B}$ مولدة أيضا بواسطة المجموعات المغلقة في X.

كل دالة متصلة $f:X \to Y$ هي دالة بورل وذلك لأن $f^{ - 1} (U) \in \mathfrak{B}$ لأي مجموعة مفتوحة U في Y.

مجموعات بورل على خط الأعداد الحقيقية

إذا أخذنا الفضاء المتري المألوف $(\mathbb{R},\left| \cdot \right|)$ مع دالة المسافة المعتادة فإن:

1) كل فترة مفتوحة مجموعة بورل
2) كل فترة مغلقة مجموعة بورل
3) كل فترة نصف مفتوحة $[a,b)$ أو $(a,b]$ مجموعة بورل حيث

$[a,b) = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {[a,b - \frac{1}{n}]}$

4) بما أن كل مجموعة مفتوحة على خط الأعداد الحقيقية اتحاد قابل للعد لفترات مفتوحة فإن $\sigma$ -الجبرا $\mathfrak{B}$ مولدة أيضا بالفترات المفتوحة.

نظرية2: لتكن $(X,\mathfrak{M})$ فضاء قابل للقياس و $(Y,\tau )$ فضاء تبولوجي و $f:X \to Y$ دالة قابلة للقياس.

1) إذا كانت B مجموعة بورل في Y فإن $f^{ - 1} (B) \in \mathfrak{M}$ .
2) إذا كانت $g:Y \to Z$ دالة بورل فإن $g \circ f:X \to Z$ قابلة للقياس.

البرهان:
لإثبات 1) كما نعلم, $T = \{ A \subset Y:f^{ - 1} (A) \in \mathfrak{M}\}$ عبارة عن $\sigma$ -الجبره في Y. بما أن f قابلة للقياس فإن $f^{ - 1} (U) \in \mathfrak{M}$ لكل مجموعة مفتوحة U. إذا T يحوي كل المجموعات المفتوحة في Y وبالتالي كل مجموعات بورل. إذا $f^{ - 1} (B) \in \mathfrak{M}$ وذلك لي مجموعة بورل B.

لإثبات 2) افرض أن U مجموعة مفتوحة في Z. إذا $g^{ - 1} (U)$ مجموعة بورل في Y وبالتالي $f^{ - 1} \left( {g^{ - 1} (U)} \right) \in \mathfrak{M}$
وذلك حسب 1). إذا $g \circ f$ قابلة للقياس حيث

$(g \circ f)^{ - 1} (U) = f^{ - 1} \left( {g^{ - 1} (U)} \right)$

المراجع

http://en.wikipedia.org/wiki/Borel_algebra
P R Halmos, Measure Theory

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

مجموعات بورل

مجموعات بورل

Borel Sets

مجموعات بورل على خط الأعداد الحقيقية

التعليقات

أريد مثال على مجموعة قابلة

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة