المجموعة المحددودة

Bounded Set

تعريف

لتكن $A \subset \mathbb{R}$ .

نقول عن A أنها محدودة من الأعلىbounded above إذا وجد عدد حقيقي M بحيث $x \leqslant M$ لكل $x \in A$ . يسمى العدد M حد أعلى للمجموعة A (an upper bound of A).

نقول عن A أنها محدودة من الأدنى bounded below إذا وجد عدد حقيقي m بحيث $m \leqslant x$ لكل $x \in A$ . يسمى العدد m حد أدنى للمجموعة A (an upper bound of A).

نقول عن A أنها محدودةbounded إذا كانت محدودة من الأعلى ومحدودة من الأدنى.

بعبارة مكافئة, المجموعة $A \subset \mathbb{R}$ تكون محدودة إذا وجد عدد حقيقي r بحيث $\left| x \right| \leqslant r$ لكل $x \in A$ . بعبارة مكافئة أخرى, المجموعة $A \subset \mathbb{R}$ محدودة إذا وجد عددين حقيقيين $m,M$ بحيث $A \subset [m,M]$ .

يجب ملاحظة أنه إذا كان M حد أعلى للمجموعة A فإن كل عدد أكبر منه هو حد أعلى لها. بالمثل إذا كان m حد أدنى للمجموعة A فكل عدد حقيقي أصغر منه هو حد أدنى للمجموعة A.

كل عدد حقيقي r هو حد أعلى للمجموعة الخالية, لأنه إذا فرضنا أنه ليس كذلك فهذا يقتضي وجود $x \in \emptyset$ بحيث $x > r$ وهذا تناقض.

بالمثل كل عدد حقيقي هو حد أدنى للمجموعة الخالية.

المجموعة المحدودة في الفضاء المتري

نقول عن المجموعة الجزئية A من فضاء متري $(X,d)$ أنها محدودة bounded إذا كانت محتواه في كرة مفتوحة ذات نصف قطر منتهي. أي إذا وجد عدد حقيقي $r > 0$ و $x \in X$ بحيث $A \subset B(x,r)$ .