نظريات النقطة الثابتة لـ براور

Brouwer's Fixed Point Theorem

إذا كانت f دالة فإن النقطة x من مجالها والتي تحقق $f(x) = x$ تسمى نقطة ثابتة للدالة. البحث عن حلول بعض المعادلات هو بالضبط البحث عن نقطة ثابتة لدالة ما. فمثلا حل المعادلة $\sin x - x + 0.5 = 0$ هو بالضبط النقطة الثابتة للدالة المعرفة بالقانون $f(x) = \sin x + 0.5$ .

نظرية 1 (نظرية براور أو براويرBrouwer للنقطة الثابتة): كل دالة متصلة من كرة الوحدة المغلقة $B^n$ في الفضاء $\mathbb{R}^n$ إلى نفسها تملك نقطة ثابتة واحدة على الأقل. حيث

$B^n = \{ (x_1 ,x_2 , \ldots ,x_n ):x_1 + x_2 + \ldots + x_n \le 1\}$

يعتبر براور أول من اثبت هذه النظرية في عام 1909م على الفضاء ثلاثي الأبعاد $\mathbb{R}^3$ وسرعان ما عممت على يد Jacques Hadamard في العام 1910م غيران النظرية حملت اسم براور لإثباته الذي اتسم بصيغته البنائية بعكس البراهين الأخرى (الغير مباشرة) التي ناقشت مسألة وجود النقطة الثابتة من غير إعطاء أي طريقة بنائية تساعدنا في الاقتراب عمليا من هذه النقطة.

لعل هذه النظرية تعتبر الأشهر من بين نظريات النقطة الثابتة . على مستوى اقل من هذه النظرية لدينا نظرية النقطة الثابتة في الانكماش التي تقوم على أساسها طريقة النقطة الثابتة لإيجاد الحلول العددية في التحليل العددي و لدينا أيضا نظرية النقطة الثابتة على فترة الوحدة $I = [0,1]$ وهي حالة خاصة من نظرية براور وإثباتها سهل.

نظرية 2 (نظرية النقطة الثابتة لفترة الوحدة $I = [0,1]$ ): إذا كانت $f:I \to I$ دالة متصلة, حيث I هي الفترة $[0,1]$ , فإن f لها نقطة ثابتة.

الإثبات: عرف الدالة g بالقانون $g(x) = f(x) - x$ . واضح أن الدالة g متصلة على I. خذ في الاعتبار كلا من $f(0),\quad f(1)$ . إذا كان

$f(0) = 0$ أو $f(1) = 1$

فإن النظرية قد برهنت. فيما عدا ذلك فإنه من خلال معرفتنا بأن $f(0),\quad f(1)$ في I نستنتج أن

$f(0) > 0$ و $f(1) < 1$

أو بصورة مكافئة

$\begin{array}{l} g(1) = f(1) - 1 < 0 \\ g(0) = f(0) - 0 > 0 \\ \end{array}$

إذا الدالة g تغير إشارتها على I وبالتالي يوجد نقطة a من I بحيث تكون $g(a) = 0$ وذلك لأن g دالة متصلة. إذا $f(a) = a$ وبذلك تثبت النظرية التي يمكن تعميمها لأي فترة مغلقة ومحدودة.

على مستوى أعلى لعبت نظرية براور دور في عدد من النظريات التي ناقشت مفهوم النقطة الثابتة بعد ذلك ومن هذه النظريات نظرية Kakutani للنقطة الثابتة وتنص على التالي.

إذا كانت $\varphi :S \to 2^S$ تطبيق شبه متصل علوي upper semicontinuous من مجموعة S متراصة compact ومحدبة وغير خالية من الفضاء الإقليدي $\mathbb{R}^n$ مجموعة المجموعات الجزئية منها $2^S$ وكانت $\varphi (x)$ مغلقة ومحدبة وغير خالية لكل $x \in S$ فإن $\varphi$ تملك نقطة ثابتة على الأقل بمعنى يوجد $x \in S$ بحيث $x \in \varphi (x)$

تمديد نظرية براور لابعاد لا نهاية يخفق حينما نحاول محاكاة نفس النظرية في فضاءات لها بناء مماثل لـ $\mathbb{R}^n$ وذات ابعاد لا نهائية مثل فضاءات هيلبرت. فضاء هيلبرت $\ell ^2$ لا تتحقق فيه نظرية براور. بشروط اضعف يمكن أن نحصل على نظريات نقطة ثابتة على فضاءات غير منتهية الأبعاد مثل نظرية شودر Schauder fixed point theorem في العام 1930 :

إذا كانت $f:C \to C$ دالة متصلة من مجموعة غير خالية ومغلقة ومحدبة C من فضاء باناخ الى نفسها بحيث $f(C)$ متراصة فإن f تملك نقطة ثابتة.

ايضا هناك نظرية تيخانوف Tikhonov (Tychonoff) fixed point theorem :

إذا كانت $f:C \to C$ دالة متصلة من مجموعة غير خالية ومتراصة C من فضاء اتجاهي تبولوجي محلي التحدب locally convex topological vector space إلى نفسها فإن f تملك نقطة ثابتة.

مراجع

http://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed_point_theorem

http://en.wikipedia.org/wiki/Fixed_point_theorems_in_infinite-dimensional_spaces

http://mathworld.wolfram.com/KakutanisFixedPointTheorem.html

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

نظريات النقطة الثابتة لـ براور

Brouwer's Fixed Point Theorem

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة