حل معادلات الدرجة الثالثة - طريقة كاردانو

Cardano's Method

مقدمة تأريخية :

أول من حل معادلة الدرجة الثالثة على الشكل $x^3+mx=n$ كان سبيونيه دل فرو Scipione del Ferro في أوائل القرن السادس عشر ، لكنه احتفظ بالحل سراً إلى حين وفاته حيث أفشاه إلى تلميذه أنطونيو فوير والذي بدوره احتفظ بالطريقة سراً .

عام 1530 ، استلم نيكولو فونتانا المعروف بـتارتاغليا (Tartaglia) معادلتين تكعبيتين من رياضي آخر وأعلن أنه استطاع حلهما . لم يصدقه أنطونيو فوير وتحداه علناً في مسابقة تضمنت أن يضع أحد طرفي المسابقة مبلغاً من المال ويطلب من الطرف الآخر أن يقوم بحل مسائل معينة خلال 30 يوماً . وإذا حل المسألة يحصل على النقود . كان مسألة فوير هي حل المعادلة $x^3+mx=n$ والتي نجح تارتاغليا في حلها ، ولكن فوير فشل في حل مسألة غريمه والتي كانت $x^3+mx^2=n$ وخسر المسابقة .

طلب كاردانو Cardano من تارتاغليا الحل ، والذي أفشاه له مشفراً في قصيدة بشرط أن لا يكشف عنه لأي كان . التزم كاردانو بالوعد إلى أن عرف بحل فرو الغير منشور فحصل على مخرج من وعده بالقول أنه ينشر عمل فرو لا حل تارتاجليا ، وقام بنشرها في كتابه Ars Magna واشتهرت الطريقة باسم كاردانو ، مع أنه من المفروض أن تسمى بطريقة فرو-تارتاجليا

لقد ساهمت هذه الطريقة بدعم موقف الرياضيين الذين تحدثوا عن $i=\sqrt {-1}$ الذي كانوا يواجه بتشكيك هائل ، ففي كتابه الجبر ، تحدث رافاييل بومبلي في 1572 عن المعادلة $x^3-15x-4=0$ ، حيث أن $x=4$ حل لهذه المعادلة ، ولكن باستخدام الصيغة التي سنثبتها في نهاية الموضوع فإن الحل الناتج $\sqrt[3] {2+11\sqrt{-1}}+\sqrt[3] {2-11\sqrt{-1}}$ ، وقد أثبت بومبلي أن :

$\sqrt[3] {2+11i}+\sqrt[3] {2-11i}=(2+i)+(2-i)=4$

، مما أعطى الأعداد المركبة بعداً واقعياً أكثر .

طريقة الحل

المــعادلة العامة للدرجة الثالثة هي . .:

$t^3 + a{\rm{ }}t^2 + {\rm{ }}b{\rm{ }}t{\rm{ }} + c = 0$

والتي يمكن اختزالها إلى المعادلة

$x^3 {\rm{ }} + {\rm{ }}px{\rm{ }} + q = 0$

بتعويض على الشكل ( $t = {\rm{ }}x - \lambda {\rm{ }}$ ) حيث يمكن إيجاد أن $\lambda = \frac {a}{3}$

نقوم الآن باستبدال آخر وهو ( x=u-v) ، وسنحصل على المعادلة :

$\left( {u - v} \right)^3+ p\left( {u - v} \right) + q = 0$

والتي يمكن وضعها على الشكل التالي :

$\left( {u^3 - {\rm{ }}v^3+ q} \right) + \left( {p - 3uv} \right)\left( {u - v} \right){\rm{ }} = 0{\rm{ }}$

يمكننا أن نلاحظ أنه الطرف الأيسر يساوي الصفر إذا كان

$p - 3uv = 0{\rm{ }}$

${\rm{ }}u^3- {\rm{ }}v^3+ q = 0$

من المعادلة الأولى يمكن أن نصل إلى أن

$v = \frac{p}{{3u}}$

وبالتعويض في المعادلة الثانية نحصل على :

$u^3- \frac{{p^3 }}{{27u^3 }} + q = 0$

والتي يمكن وضعها على الصورة

$27u^6+ 27q{\rm{ }}u^3 {\rm{ }}- {\rm{ }}p^{{\rm{ }}3}= 0$

المعادلة الأخيرة تمثل معادلة تربيعية في ( $u^3$ ) ، والتي يمكن حلها بسهولة بقانون المعادلات التربيعية :

$u = \sqrt[3]{{\frac{{ - 27q + \sqrt {729{\rm{ }}q^2 + 108{\rm{ }}p^3 }}}{{54}}}} = \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2+ \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 } }}$

وبالتعويض ، نوجد v :

$v = \sqrt[3]{{u^3+ q}} = \sqrt[3]{{\frac{q}{2}+ \sqrt {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2+ \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 } }}$

لذا :

$x_1 = \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 } }} - \sqrt[3]{{\frac{q}{2} + \sqrt {\left( {\frac{q}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{p}{3}} \right)^3 } }}$

ويمكن الحصول على الحلول الأخرى بالقسمة على ( $x - x_1$ ) .

ملاحظة : يمكن اختصار الطريقة ، بتعويض على الشكل : $x =u - \frac{p}{{3u}}$

بعد القسمة على ( $x - x_1$ ) والمزيد من العمليات الجبرية نحصل على الصيغة العامة للحلول لأي معادلة :

$t = \left\{ {\begin{array}{l} \displaystyle<br /> {\sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {\frac{{q^2 }}{4} + \frac{{p^3 }}{{27}}} }} + \sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \sqrt {\frac{{q^2 }}{4} + \frac{{p^3 }}{{27}}} }} - \frac{a}{3}} \\ \displaystyle<br /> {\left( { - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {\frac{{q^2 }}{4} + \frac{{p^3 }}{{27}}} }} + \left( { - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \sqrt {\frac{{q^2 }}{4} + \frac{{p^3 }}{{27}}} }} - \frac{a}{3}} \\ \displaystyle<br /> {\left( { - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} + \sqrt {\frac{{q^2 }}{4} + \frac{{p^3 }}{{27}}} }} + \left( { - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\sqrt[3]{{ - \frac{q}{2} - \sqrt {\frac{{q^2 }}{4} + \frac{{p^3 }}{{27}}} }} - \frac{a}{3}} \\<br /> \end{array}} \right.$