العناصر الأولية والعناصر الغير قابلة للتحليل

Prime Elements and Irreducible Elements

جدول المحتويات [اخفاء]

تعريف
أمثلة
حقائق متعلقة بالحلقة التامة
حقائق متعلقة بمناطق مثالية رئيسية
مراجع

تعريف

لتكن R حلقة إبدالية ذات محايد. نقول عن $p \in R$ أنه عنصر أولي prime element إذا تحقق التالي:

1. p ليس صفر ولا عنصر وحدة

2. إذا كان $a,b \in R$ بحيث $p|ab$ فإن $p|a$ أو $p|b$ .

نقول عن العنصر $q \in R$ أنه غير قابل للتحليل irreducible إذا تحقق ما يلي:

1. q ليس صفر ولا عنصر وحدة.

2. إذا كان $a,b \in R$ بحيث $q = ab$ فإما a عنصر وحدة أو b عنصر وحدة.

أمثلة

1. في الحلقة $\mathbb{Z}$ العناصر الأولية هي العناصر الغير قابلة للتحليل وهي الأعداد الأولية.

2. في الحلقة $\mathbb{Z}_8$ عمليات الضرب الممكنة للعنصر $6$ هي

$6 = 1 \otimes 6 = 2 \otimes 3 = 2 \otimes 7 = 5 \otimes 6$

لذلك $6$ غير قابل للتحليل لن كل عملية ضرب هنا تضمنت عنصر من زمرة^[م] الوحدات

$U(\mathbb{Z}_8 ) = \{ 1,3,5,7\}$

3. في الحلقة $\mathbb{Z}(\sqrt { - 3} ) = \{ a + b\sqrt { - 3} :a,b \in \mathbb{Z}\}$ العنصر $\sqrt { - 3}$ أولي وكذلك غير قابل للتحليل. إثبات هذا يحتاج إلى بعض الحسابات الجبرية الروتينية.

حقائق متعلقة بالحلقة التامة

حقيقة1: في حلقة تامة R. إذا كان p غير قابل للتحليل فإن قواسمه هي عناصر الوحدة والعناصر المتشاركة معه فقط.

البرهان: إذا كان a عنصر وحده أو متشارك مع p فإن $a|p$ وضوحا. من جهة أخرى إذا كان $a|p$ فإن $p = ba$ وبالتالي إما a عنصر وحدة وإما b عنصر وحدة ومنه ينتج أن a يشارك p.

مبرهنة2: إذا كان $p \ne 0$ عنصر من حلقة تامة R فإن p غير قابل للتحليل إذا وإذا فقط كانت $(p)$ مثالية أعظمية.

البرهان: افرض أن p غير قابل للتحليل. إذا p ليس عنصر وحدة ولذلك $(p)$ مثالية فعلية. إذا كانت $(p) \subset (d)$ فإن $p = cd$ لبعض $c \in R$ وبالتالي إما c عنصر وحدة ومنه $(p) = (d)$ أو d عنصر وحدة ومنه $(d) = R$ . إذا $(p)$ مثالية أعظمية.

عكسيا, افرض أن $(p)$ أعظمية. إذا p ليس عنصر وحدة. إذا كان $a,b \in R$ بحيث $p = ab$ فإن $(p) \subset (a)$ ولكن $(p)$ أعظمية. إذا إما $(a) = R$ ومنه a عنصر وحدة وإما $(p) = (a)$ ومنه $a = pc$ وبالتالي $p = pcb$ ومنها وباستخدام قانون اختصار الضرب ينتج $1 = cb$ ومنه نجد أن b عنصر وحدة. إذا p غير قابل للتحليل.

حقيقة3: ليكن $a,b \in R$ عنصرين من حلقة تامة.

1. كل عنصر متشارك مع عنصر أولي من R هو عنصر أولي.

2. كل عنصر متشارك مع عنصر غير قابل للتحليل في R هو عنصر غير قابل للتحليل.

مختصر البرهان:

1. إذا كان c غير قابل للتحليل و كان d متشارك مع c فإن $c = du$ حيث $u \in R$ عنصر وحدة انظر العناصر المتشاركة. إذا كان $d = ab$ فإن $c = abu$ وبالتالي a عنصر وحدة أو $bu$ عنصر وحدة ومن هذه الأخيرة فإن b عنصر وحدة لأن u كذلك. إذا d غير قابل للتحليل.

2. تبرهن بطريقة مماثلة.

حقيقة4: في الحلقة التامة R كل عنصر أولي هو غير قابل للتحليل.

البرهان: ليكن p أولي و لتكن $a,b \in R$ بحيث $p = ab$ . إذا p يجب أن يقسم a أو b. إذا كان $p|a$ فإن $a = pc$ وبالتالي $p = (pc)b$ ومن قانون الاختصار للضرب $1 = cb$ أي أن b عنصر وحدة. بالمثل إذا كان $p|b$ نستنتج أن a عنصر وحدة. إذا p غير قابل للتحليل.

عكس هذه الحقيقة غير صحيح, فعلى سبيل المثال العنصر $2$ في $\mathbb{Z}(\sqrt { - 3} )$ عنصر غير قابل للتحليل ولكنه غير أولي. تأكد من ذلك. على كل في مناطق المثالية الرئيسية العكس صحيح وهذا ما نبرهن عليه الآن.

مبرهنة5: إذا كانت R حلقة تامة كل و $p \in R$ عنصر غير صفري فإن التقارير التالية متكافئة:

1. p عنصرا أوليا

2. $(p)$ مثالية أولية

3. $R/pR$ حلقة تامة.

البرهان:

إثبات $2 \Leftrightarrow 1$ : ليكن p عنصرا أوليا. افرض أن $ab \in (p)$ إذا $p|ab$ وحيث p أولي فإن $p|a$ أو $p|b$ وبالتالي $a = cp$ أو $b = dp$ لبعض $c,d \in R$ . إذا $a \in (P)$ أو $b \in (P)$ والذي يثبت أن $(p)$ مثالية أولية. عكسيا إذا كانت $(p)$ مثالية أولية فإن $(p) \ne R$ . إذا p ليس عنصر وحدة. إذا كان $p|ab$ فإن $ab \in (p)$ وبالتالي $a \in (P)$ أو $b \in (P)$ لأن $(p)$ أولية. إذا $p|a$ أو $p|b$ وهذا يثبت أن p أولي.

إثبات $3 \Leftrightarrow 1$ : ليكن p عنصرا أوليا. بما أن R إبدالية ذات محايد $1 \ne 0$ فكذلك $R/pR$ إبدالية ذات محايد $1 + pR \ne 0 + pR$ . ليكن $a + pR,\;b + pR$ عنصرين $R/pR$ بحيث

$(a + pR)(b + pR) = ab + pR = 0 + pR$

إذا $ab \in pR$ ومنه $p|ab$ . بما أن p أولي فإن $p|a$ أو $p|b$ . أي أن $a + pR = pR$ أو $b + pR = pR$ وعليه فإن $R/pR$ خالية من قواسم الصفر.

عكسيا إذا كانت $R/pR$ حلقة تامة فإن $1 + pR \ne 0 + pR$ أي أن p ليس عنصر وحدة. إذا كان $p|ab$ فهذا يعني أن

$pR = ab + pR = (a + pR)(b + pR)$

ولكن $R/pR$ خالية من قواسم الصفر, إذا $a + pR = pR$ أو $b + pR = pR$ وبالتالي $p|a$ أو $p|b$ وهذا يثبت أن p أولي.

حقائق متعلقة بمناطق مثالية رئيسية

مبرهنة6: إذا كانت R منطقة مثالية رئيسية فإن $p \in R$ أولي إذا وإذا فقط كان غير قابل للتحليل.

البرهان: بما أن R تعتبر حلقة تامة فكل أولى p هو غير قابل للتحليل. لإثبات العكس افرض أن p غير قابل للتحليل, إذا p ليس صفرا وليس عنصر وحدة. إذا $(p)$ مثالية فعلية. افرض أن $a,b \in R$ بحيث $p|ab$ . بما أن R مثالية رئيسية يوجد $c \in R$ بحيث $(p,a) = (c)$ . إذا $p \in (c)$ ومن ثم $p = cr$ . بما أن p غير قابل للتحليل فإما c عنصر وحدة أو r عنصر وحدة. إذا كان c عنصر وحدة فإن $(c) = R$ ومن ثم يوجد s,t في R بحيث $as + pt = 1$ ومنه $abs + pbt = b$ وبالتالي $p|b$ لأن $p|ab$ . أما إذا كان r عنصر وحدة فإن p,c متشاركان وبالتالي $(p) = (c)$ . ولكن $(p,a) = (c)$ إذا $a \in (p)$ ومن ثم $p|a$ . وبهذا يثبت أن p عنصر أولي.

نتيجة^[م]7: إذا كانت R منطقة مثالية رئيسية وليست حقل^[م] و $a \in R$ غير صفري وليس عنصر وحدة فإنه يوجد عنصر أولي $p \in R$ بحيث $p|a$ .

البرهان: أولا $(a)$ مثالية فعلية لأن a ليس عنصر وحدة. بما أن R إبدالية ذات محايد, يوجد مثالية أعظمية $(p)$ في R بحيث $(a) \subset (p)$ راجع المثالية الأعظمية. إذا $p|a$ كما أن p غير قابل للتحليل وفق مبرهنة1 وحيث R منطقة مثالية رئيسية فإن p أولي حسب مبرهنة6.

مراجع

أ.د فالح بن عمران الدوسري, مقدمة في نظرية^[م] الحلقات

ب. هارتلي, ت. هاوكس, الحلقات, الحلقيات والجبر الخطي, ترجمة د. يوسف بن عبد الله الخميس, د. أحمد حميد شراري, جامعة الملك سعود , النشر العلمي والمطابع

Thomas W. Hungerford, ALGEBRA, Springer-Verlag.
I. N. Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons.

http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_domain

http://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_polynomial

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <em> <strong> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <thead> <tr> <td>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.