المعادلة المميزة ذات الجذور المركبة

Characteristic Equation With Complex Roots

لدينا المعادلة التكرارية

$x_n - a_1 x_{n - 1} - a_2 x_{n - 2} = 0$

من الممكن أن تكون لمعادلتها المميزة جذور مركبة a+ib, a-ib وبالتالي وكما مر معنا في موضوع المعادلة التكرارية الخطية المتجانسة من الرتبة الثانية فإن الحل العام للمعادلة التكرارية هو

$x_n = c_1 (a + ib)^n + c_2 (a - ib)^n$

ولكن السؤال الطبيعي: كيف نعبر عن الحل بصورة أخرى لا تظهر فيها الأجزاء التخيلية خصوصا إذا ما كان الحل يعبر عن متتابعة حقيقية القيمة؟

للإجابة سنبدأ بكتابة الحل باستخدام الصورة المثلثية للعدد المركب. افرض أن

$a \pm ib = r(\cos \theta \pm i\sin \theta )$

حيث الزاوية r مقياس أو طول العدد المركب و $\theta = \tan ^{ - 1} b/a$ وإذا كان a=0 فإن الزاوية $\pi /2$ أو $- \pi /2$ حسب ما إذا كانت b موجبة أو سالبة على الترتيب. إذا

$x_n = c_1 r^n (\cos \theta + i\sin \theta )^n + c_2 r^n (\cos \theta - i\sin \theta)^n$

من نظرية ديموافر

$x_n = c_1 r^n (\cos n\theta + i\sin n\theta ) + c_2 r^n (\cos n\theta - i\sin n\theta)$

إذا

$x_n = r^n \left( {(c_1 + c_2 )\cos n\theta + (c_1 - c_2 )i\sin n\theta } \right)$

من الأشياء المفيدة أن العددين $c_1 ,\;c_2$ يكونان مترافقين عندما تكون المعادلة التكرارية بشروط ابتدائية ذات أعداد حقيقية ,انظر المسائل. وبالتالي الفرق $c_1 - \;c_2$ عبارة عن عدد تخيلي بحت ومنه نستنتج أن الحل المقابل للمعادلة التكرارية في هذه الحالة سيكون على الشكل

$x_n = r^n (d_1 \cos n\theta + d_2 \sin n\theta )$

حيث $d_1 ,\;d_2$ أعداد حقيقية.

مثال 1: أوجد حل المعادلة التكرارية

$x_n + 2x_{n - 1} + 2x_{n - 2} = 0,\quad x_0 = 1,\;x_1 = 5$

معادلتها المميزة $x^2 + 2x + 2 = 0$ ولها الجذرين المركبين $- 1 \pm i$ وعليه فإن

$\theta = \tan ^{ - 1} ( - 1) = \frac{{3\pi }}{4},\quad r = \sqrt {a^2 + b^2 } = \sqrt 2$

وبالتالي الحل العام

$x_n = 2^{n/2} (d_1 \cos \frac{{3n\pi }}{4} + d_2 \sin \frac{{3n\pi }}{4})$

بالتعويض في الحل العام من الشروط الابتدائية

$x_0 = 1 = d_1$

$x_1 = 2 = \sqrt 2 (d_1 \cos \frac{{3\pi }}{4} + d_2 \sin \frac{{3\pi }}{4}) = \sqrt 2 \left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} + \frac{{d_2 }}{{\sqrt 2 }}} \right)$

ومنه $d_2 = 3$ وبالتالي فإن الحل المطلوب

$x_n = 2^{n/2} (\cos \frac{{3n\pi }}{4} + 3\sin \frac{{3n\pi }}{4})$

مسائل

* إذا كانت $x_n - a_1 x_{n - 1} - a_2 x_{n - 2} = 0$ معادلة تكرارية ذات شروط ابتدائية بأعداد حقيقية وكان لمعادلتها المميزة جذور مركبة r,s فاثبت أن حلها يكون على الشكل

$x_n = c_1 r^n + c_2 s^n$

حيث $c_1 ,\;c_2$ عددين مركبين ومترافقين.

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

المعادلة المميزة ذات الجذور المركبة

Characteristic Equation With Complex Roots

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة