مميز الحلقة

Characteristic of Ring

جدول المحتويات [اخفاء]

تعريف
أمثلة توضيحية
المميز في الحلقات التامة
المميز في الحقول
المراجع

تعريف

إذا كان n أصغر عدد صحيح موجب بحيث $na = 0$ لكل $a \in R$ فإننا نقول أن n مميز للحلقة^[م] R ونكتب ذلك ${\text{char}}(R) = n$ . إذا لم يوجد مثل هذا العدد n فنقول أن R لها المميز صفر ونكتب ${\text{char}}(R) = 0$ .

لاحظ أنه إذا كانت $R \ne 0$ ذات مميز $n > 0$ فإن $n > 1$ لأنه إذا كان $a \ne 0$ عنصر من R فإن

$1a = a \ne 0$

أمثلة توضيحية

1. في الحلقة $\mathbb{Z}_4$ نجد أن ${\text{char}}(\mathbb{Z}_4 ) = 4$ لأن $4$ أصغر عدد يحقق $na = 0$ لكل a في $\mathbb{Z}_4$ .

2. إذا كانت $R = \mathbb{Z}$ فإن ${\text{char}}(R) = 0$ لأنه لا يوجد عدد صحيح n بحيث $na = 0$ لكل عدد صحيح a.

3. في الحلقة $R = (P(X),\Delta , \cap )$ حيث $P(X)$ مجموعة المجموعات الجزئية من X مع كلا من عملية الفرق التناظري

$A\Delta B = (A\backslash B) \cup (B\backslash A)$

التي تمثل عملية الجمع وعملية التقاطع^[م] التي تمثل عملية الضرب نجد أن ${\text{char}}(R) = 2$ وذلك لأن

$A^2 = A\Delta A = (A\backslash A) \cup (A\backslash A) = \emptyset$

حقيقة1: إذا كانت R حلقة ذات محايد و $n > 0$ عدد صحيح فإن

1. المميز ${\text{char}}(R) = n$ إذا وإذا فقط كان n أصغر عدد صحيح موجب يجعل $n \cdot 1_R = 0$ .

2. إذا كان $\phi :\mathbb{Z} \to R$ التشاكل المعطى وفق القانون $\phi (m) = m1_R$ وكان ${\text{char}}(R) = n$ فإن

$\ker \phi = \{ kn:k \in \mathbb{Z}\}$

البرهان:

1. إذا كان $n \cdot 1_R = 0$ فإن

$na = n \cdot (1_R \cdot a) = (n \cdot 1_R ) \cdot a = 0 \cdot a = 0$

لكل $a \in R$ وبالتالي ${\text{char}}(R) = n$ . الاتجاه الآخر واضح فإذا كان ${\text{char}}(R) = n$ فإن $n \cdot 1_R = 0$ .

2. البرهان يتم بمساعدة الجزء الأول.

المميز في الحلقات التامة

مبرهنة2: إذا R حلقة تامة فإن مميزها صفر أو عدد أولي.

البرهان: ليكن ${\text{char}}(R) = n > 0$ (بالطبع $n > 1$ ) ولنفرض أن $n = mk$ حيث $1 < m,k < n$ أعداد صحيحة. من خصائص الحلقات نجد أن

$(m1_R )(k1_R ) = (mk)1_R = n1_R = 0$

وبالتالي $m1_R = 0$ أو $k1_R = 0$ حيث R حلقة تامة. ولكن هذا يناقض الحقيقة أعلاه.

مبرهنة3: إذا كانت R حلقة تامة فإن لجميع عناصر الزمرة^[م] $(R, + )$ نفس الرتبة وإذا كانت هذه الرتبة منتهية فإنها تمثل مميز الحلقة.

البرهان: افرض أن b عنصر غير صفري من R رتبته $\left| b \right| = n$ حيث n صحيح موجب. إذا $nb = 0$ وعليه فإن

$0 = a(nb) = (na)b$

وذلك لكل $a \in R$ وبالتالي $na = 0$ لأن R خالية من قواسم الصفر. إذا كان $m < n$ عدد صحيح بحيث $ma = 0$ فإنه وكما سبق

$0 = (ma)b = a(mb)$

وبالتالي $mb = 0$ لأن R خالية من قواسم الصفر وهذا يناقض الفرض. إذا $\left| a \right| = n$ لكل $a \in R$ . إذا ${\text{char}}(R) = n$ .

ملاحظة: خلال البرهان لم نستخدم من شروط الحلقة التامة سوى أنها خالية من قواسم الصفر, لذلك تبقى المبرهنة صحيحة لأي حلقة R خالية من قواسم الصفر.

مبرهنة4: لتكن R حلقة تامة.

1. إذا كان ${\text{char}}(R) = 0$ فإن R تحوي حلقة جزئية مماثلة للحلقة $\mathbb{Z}$ .

2. إذا كان ${\text{char}}(R) = p$ فإن R تحوي حلقة جزئية مماثلة للحلقة $\mathbb{Z}_p$ .

ملخص البرهان:

1. افرض ${\text{char}}(R) = 0$ وعرف $\phi :\mathbb{Z} \to R$ بالقانون $\phi (m) = me$ حيث $e = 1_R$ . واضح أن

$\begin{gathered} \phi (m + n) = (m + n)e = me + ne = \phi (m) + \phi (n) \hfill \\ \phi (mn) = (mn)e = (me)(ne) = \phi (m)\phi (n) \hfill \\ \end{gathered}$

لذلك $\phi$ تشاكل حلقي لذلك $\phi (\mathbb{Z})$ حلقة جزئية من R. بما أن

$\phi (m) = \phi (n) \Rightarrow me = ne \Rightarrow (m - n)e = 0$

وبما أن ${\text{char}}(R) = 0$ فإن $m - n = 0$ . إذا $m = n$ والذي يثبت أن $\phi$ أحادي. لذلك $\mathbb{Z}$ تماثل^[م] حلقيا $\phi (\mathbb{Z})$ وهذا ينهي البرهان.

2. برهان الجزء الثاني من النظرية^[م] يتم بشكل مماثل من خلال التشاكل $\theta :\mathbb{Z}_p \to R$ المعرف بالعلاقة

$\theta ([k]) = ke$

بين أولا باستخدام ${\text{char}}(R) = p$ وخواص $\mathbb{Z}_p$ أن $\theta$ جيد التعريف, بمعنى انه إذا كان $m,n \in [k]$ فإن $\theta ([m]) = \theta ([n])$ ثم أثبت أن $\theta$ تشاكل حلقي أحادي.

المميز في الحقول

بما أن كل حقل^[م] هو حلقة تامة فإن جميع الحقائق والمبرهنات المتعلقة بالمميز في الحلقة التامة تنطبق على الحقل, فقط نريد التأكيد على تلك الحقيقة المتعلقة بالمميز بنوع المميز ونصيغها بلغة الحقول فنقول

مميز الحقل F إما صفر أو عدد أولي

مبرهنة5: ليكن F حقل.

1. إذا كان ${\text{char}}(F) = 0$ فإن F يحوي حقل جزئي مماثل لحقل الأعداد النسبية $\mathbb{Q}$ .

2. إذا كان ${\text{char}}(F) = p$ فإن F يحوي حقل جزئي مماثل للحقل $\mathbb{Z}_p$ .

البرهان: يتم بأسلوب مماثل للنظرية المماثلة لها في حالة الحلقات التامة.

المراجع

أ.د فالح بن عمران الدوسري, مقدمة في نظرية الحلقات

ب. هارتلي, ت. هاوكس, الحلقات, الحلقيات والجبر الخطي, ترجمة د. يوسف بن عبد الله الخميس, د. أحمد حميد شراري, جامعة الملك سعود , النشر العلمي والمطابع

Thomas W. Hungerford, ALGEBRA, Springer-Verlag.
I N Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons.
John R. Durbin, Modern Algebra: An Introduction, John Wiley & Sons.

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <em> <strong> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <thead> <tr> <td>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.