مميز الحلقة

Characteristic of Ring

تعريف

إذا كان n أصغر عدد صحيح موجب بحيث $na = 0$ لكل $a \in R$ فإننا نقول أن n مميز للحلقة R ونكتب ذلك ${\text{char}}(R) = n$ . إذا لم يوجد مثل هذا العدد n فنقول أن R لها المميز صفر ونكتب ${\text{char}}(R) = 0$ .

لاحظ أنه إذا كانت $R \ne 0$ ذات مميز $n > 0$ فإن $n > 1$ لأنه إذا كان $a \ne 0$ عنصر من R فإن

$1a = a \ne 0$

أمثلة توضيحية

1. في الحلقة $\mathbb{Z}_4$ نجد أن ${\text{char}}(\mathbb{Z}_4 ) = 4$ لأن $4$ أصغر عدد يحقق $na = 0$ لكل a في $\mathbb{Z}_4$ .

2. إذا كانت $R = \mathbb{Z}$ فإن ${\text{char}}(R) = 0$ لأنه لا يوجد عدد صحيح n بحيث $na = 0$ لكل عدد صحيح a.

3. في الحلقة $R = (P(X),\Delta , \cap )$ حيث $P(X)$ مجموعة المجموعات الجزئية من X مع كلا من عملية الفرق التناظري

$A\Delta B = (A\backslash B) \cup (B\backslash A)$

التي تمثل عملية الجمع وعملية التقاطع التي تمثل عملية الضرب نجد أن ${\text{char}}(R) = 2$ وذلك لأن

$A^2 = A\Delta A = (A\backslash A) \cup (A\backslash A) = \emptyset$

حقيقة1: إذا كانت R حلقة ذات محايد و $n > 0$ عدد صحيح فإن

1. المميز ${\text{char}}(R) = n$ إذا وإذا فقط كان n أصغر عدد صحيح موجب يجعل $n \cdot 1_R = 0$ .

2. إذا كان $\phi :\mathbb{Z} \to R$ التشاكل المعطى وفق القانون $\phi (m) = m1_R$ وكان ${\text{char}}(R) = n$ فإن

$\ker \phi = \{ kn:k \in \mathbb{Z}\}$

البرهان:

1. إذا كان $n \cdot 1_R = 0$ فإن

$na = n \cdot (1_R \cdot a) = (n \cdot 1_R ) \cdot a = 0 \cdot a = 0$

لكل $a \in R$ وبالتالي ${\text{char}}(R) = n$ . الاتجاه الآخر واضح فإذا كان ${\text{char}}(R) = n$ فإن $n \cdot 1_R = 0$ .

2. البرهان يتم بمساعدة الجزء الأول.

المميز في الحلقات التامة

مبرهنة2: إذا R حلقة تامة فإن مميزها صفر أو عدد أولي.

البرهان: ليكن ${\text{char}}(R) = n > 0$ (بالطبع $n > 1$ ) ولنفرض أن $n = mk$ حيث $1 < m,k < n$ أعداد صحيحة. من خصائص الحلقات نجد أن

$(m1_R )(k1_R ) = (mk)1_R = n1_R = 0$

وبالتالي $m1_R = 0$ أو $k1_R = 0$ حيث R حلقة تامة. ولكن هذا يناقض الحقيقة أعلاه.

مبرهنة3: إذا كانت R حلقة تامة فإن لجميع عناصر الزمرة $(R, + )$ نفس الرتبة وإذا كانت هذه الرتبة منتهية فإنها تمثل مميز الحلقة.

البرهان: افرض أن b عنصر غير صفري من R رتبته $\left| b \right| = n$ حيث n صحيح موجب. إذا $nb = 0$ وعليه فإن

$0 = a(nb) = (na)b$

وذلك لكل $a \in R$ وبالتالي $na = 0$ لأن R خالية من قواسم الصفر. إذا كان $m < n$ عدد صحيح بحيث $ma = 0$ فإنه وكما سبق

$0 = (ma)b = a(mb)$

وبالتالي $mb = 0$ لأن R خالية من قواسم الصفر وهذا يناقض الفرض. إذا $\left| a \right| = n$ لكل $a \in R$ . إذا ${\text{char}}(R) = n$ .

ملاحظة: خلال البرهان لم نستخدم من شروط الحلقة التامة سوى أنها خالية من قواسم الصفر, لذلك تبقى المبرهنة صحيحة لأي حلقة R خالية من قواسم الصفر.

مبرهنة4: لتكن R حلقة تامة.

1. إذا كان ${\text{char}}(R) = 0$ فإن R تحوي حلقة جزئية مماثلة للحلقة $\mathbb{Z}$ .

2. إذا كان ${\text{char}}(R) = p$ فإن R تحوي حلقة جزئية مماثلة للحلقة $\mathbb{Z}_p$ .

ملخص البرهان:

1. افرض ${\text{char}}(R) = 0$ وعرف $\phi :\mathbb{Z} \to R$ بالقانون $\phi (m) = me$ حيث $e = 1_R$ . واضح أن

$\begin{gathered} \phi (m + n) = (m + n)e = me + ne = \phi (m) + \phi (n) \hfill \\ \phi (mn) = (mn)e = (me)(ne) = \phi (m)\phi (n) \hfill \\ \end{gathered}$

لذلك $\phi$ تشاكل حلقي لذلك $\phi (\mathbb{Z})$ حلقة جزئية من R. بما أن

$\phi (m) = \phi (n) \Rightarrow me = ne \Rightarrow (m - n)e = 0$

وبما أن ${\text{char}}(R) = 0$ فإن $m - n = 0$ . إذا $m = n$ والذي يثبت أن $\phi$ أحادي. لذلك $\mathbb{Z}$ تماثل حلقيا $\phi (\mathbb{Z})$ وهذا ينهي البرهان.

2. برهان الجزء الثاني من النظرية يتم بشكل مماثل من خلال التشاكل $\theta :\mathbb{Z}_p \to R$ المعرف بالعلاقة

$\theta ([k]) = ke$

بين أولا باستخدام ${\text{char}}(R) = p$ وخواص $\mathbb{Z}_p$ أن $\theta$ جيد التعريف, بمعنى انه إذا كان $m,n \in [k]$ فإن $\theta ([m]) = \theta ([n])$ ثم أثبت أن $\theta$ تشاكل حلقي أحادي.

المميز في الحقول

بما أن كل حقل هو حلقة تامة فإن جميع الحقائق والمبرهنات المتعلقة بالمميز في الحلقة التامة تنطبق على الحقل, فقط نريد التأكيد على تلك الحقيقة المتعلقة بالمميز بنوع المميز ونصيغها بلغة الحقول فنقول

مميز الحقل F إما صفر أو عدد أولي

مبرهنة5: ليكن F حقل.

1. إذا كان ${\text{char}}(F) = 0$ فإن F يحوي حقل جزئي مماثل لحقل الأعداد النسبية $\mathbb{Q}$ .

2. إذا كان ${\text{char}}(F) = p$ فإن F يحوي حقل جزئي مماثل للحقل $\mathbb{Z}_p$ .

البرهان: يتم بأسلوب مماثل للنظرية المماثلة لها في حالة الحلقات التامة.

المراجع

أ.د فالح بن عمران الدوسري, مقدمة في نظرية الحلقات

ب. هارتلي, ت. هاوكس, الحلقات, الحلقيات والجبر الخطي, ترجمة د. يوسف بن
عبد الله الخميس, د. أحمد حميد شراري, جامعة الملك سعود , النشر العلمي
والمطابع

Thomas W. Hungerford, ALGEBRA, Springer-Verlag.
I N Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons.
John R. Durbin, Modern Algebra: An Introduction, John Wiley & Sons.

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

مميز الحلقة

Characteristic of Ring

تعريف

أمثلة توضيحية

المميز في الحلقات التامة

المميز في الحقول

المراجع

التعليقات

I could read a book about

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة