معادلة الصف

Class Equation

صف الترافق Conjugacy Class

يقال عن عنصرين a,b من زمرة G أنهما مترافقان إذا وجد $g \in G$ بحيث $a = gbg^{ - 1}$

من السهل التحقق من أن الترافق عبارة عن علاقة تكافؤ على المجموعة G وبالتالي تجزيء G إلى صفوف تكافؤ كل صف يسمى صف ترافقي conjugacy class. عدد هذه الصفوف يسمى عدد الصف the class number. الصف الذي ينتمى له العنصر a هو

$Cl(a) = \left\{ {gag^{ - 1} :g \in G} \right\}$

ويسمى صف ترافق a.

إذا كان للزمرة المنتهية G عدد k من صفوف الترافق فإن

$\left| G \right| = \sum\limits_{i = 1}^k {\left| {Cl(x_i )} \right|}$

حيث $x_i$ هي عناصر من G مختارة من كل صف ترافق عنصر واحد.

تذكر أن مركز الزمرة $Z(G)$ عبارة عن زمرة إبدالية جزئية من G حيث

$Z(G) = \{ g:gx = xg\;{\rm{for all}}\;x \in G\}$

العنصر a ينتمي $Z(G)$ إذا وإذا فقط $\left| {Cl(a)} \right| = 1$ هذا واضح جدا لأنه إذا كان a عنصر من مركز الزمرة فإن ga=ag مهما كان g منG ومنه $gag^{ - 1} = a$ أي أن صف الترافق الخاص بـ a يحتوى a فقط. وبالعكس إذا كان هذا الصف يحوي فقط عنصر واحد وهو حتما a لأن eae=a فإن $gag^{ - 1} = a$ لأي g من G وبالتاليag=ga يتبادل مع كل عناصر G, إذا a ينتمي $Z(G)$ .

فكرة مركز المجموعة يمكن تمديدها لتشمل أي عنصر من الزمرة كما يلي. عرف مركزة centralize العنصر a في G بالشكل التالي

$C_G (a) = \{ g \in G:ga = ag\;\}$

هذه عبارة عن زمرة جزئية من G, تحقق من ذلك.

من الحقائق الأولية ولكن ليس هنا مكان إثباتها أن عدد عناصر صف الترافق $Cl(a)$ يساوي دليل $C_G (a)$ في G, أي أن

$\left| {Cl(a)} \right| = [G:C_G (a)]$