الصفحة الرئيسية

قوانين في الجبر التقليدي 1

 

قواعد عامة في المجموع

\begin{array}{*{20}c} {\sum\limits_{k = 1}^n a = na} \hfill & {\sum\limits_{k = 1}^n {(a_n } + b_n ) = \sum\limits_{k = 1}^n {a_n } + \sum\limits_{k = 1}^n {b_n } } \hfill \\ {} \hfill & {} \hfill \\ {\sum\limits_{k = 1}^n {ca_n } = c\sum\limits_{k = 1}^n {a_n } \quad } \hfill & {\sum\limits_{k = 1}^m {a_n } + \sum\limits_{k = m + 1}^n {a_n } = \sum\limits_{k = 1}^n {a_n } } \hfill \\\end{array}

مجاميع قوة أعداد متتالية

\begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^n k = \frac{1}{2}n(n + 1) \\ \sum\limits_{k = 1}^n {k^2 } = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) \\ \sum\limits_{k = 1}^n {k^3 } = \left( {1 + 2 + 3 + \cdots + n} \right)^2 = \left( {\frac{1}{2}n(n + 1)} \right)^2 \\ \end{array}

\begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^n {k^4 } = \frac{1}{{30}}n(n + 1)(2n + 1)(3n^2 + 3n - 1) \\ \sum\limits_{k = 1}^n {k^5 } = \frac{1}{{12}}n^2 (n + 1)^2 (2n^2 + 2n - 1) \\ \end{array}

\begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^n {k^6 } = \frac{1}{{42}}n(n + 1)(2n + 1)(3n^4 + 6n^3 - 3n + 1) \\ \sum\limits_{k = 1}^n {k^7 } = \frac{1}{{24}}n^2 (n + 1)^2 (3n^4 + 6n^3 - n^2 - 4n + 2) \\ \end{array}


متسلسلة حسابية لها n حدا وحدها الأول a وأساسها d:


\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {(a + kd) = \frac{n}{2}} \left[ {2a + (n - 1)d} \right]

متسلسلات هندسية:

\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {ar^k } = a\frac{{1 - r^n }}{{1 - r}},\quad (r \ne 1),\quad \sum\limits_{k = 0}^\infty {ar^k } = a\frac{1}{{1 - r}},\quad ( - 1 < r < 1)


\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {kr^k } = \frac{{(n - 1)r^{n + 1} - nr^n + r}}{{(1 - r)^2 }},\quad (r \ne 1),\quad \sum\limits_{k = 0}^\infty {kr^k } = \frac{r}{{(1 - r)^2 }},\quad ( - 1 < r < 1)

 

متسلسلات توافقية

H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{{n - 1}} + \frac{1}{n},\quad \quad \sum\limits_{i = 1}^n {H_i } = (n + 1)H_n - n

\sum\limits_{i = 1}^n {iH_i } = \frac{{n(n + 1)}}{2}H_n - \frac{{n(n - 1)}}{4},\quad \sum\limits_{i = 1}^n {\left( \begin{array}{l} i \\ m \\ \end{array} \right)H_i } = \left( \begin{array}{l} n + 1 \\ m + 1 \\ \end{array} \right)\left( {H_{n + 1} - \frac{1}{{m + 1}}} \right)

 

متطابقات

 

x^n - y^n = (x - y)(x^{n - 1} + x^{n - 2} y + \cdots + xy^{n - 2} + y^{n - 1} ),\;n > 1

x^{mn} - 1 = (x^m - 1)(x^{m(n - 1)} + x^{m(n - 2)} + x^{m(n - 3)} + .......... + x^m + 1),\;\;m \ge 1,n > 1

x^n - 1 = (x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + x^{n - 3} + .......... + x + 1),\;\;n > 1

 

في حالة x^n + y^n فإن الصيغة تختلف حسب ما إذا كان n زوجي أم فردي.

إذا كان n عدد فردي فإن

x^n + y^n = (x + y)(x^{n - 1} - x^{n - 2} y + x^{n - 3} y^2 - .......... - xy^{n - 2} + y^{n - 1} )\;\;n > 1,

x^n + 1 = (x + 1)(x^{n - 1} - x^{n - 2} + x^{n - 3} - .......... - x + 1)\;\;n > 1,

إذا كان n عدد زوجي فإن

\begin{array}{*{20}c} {x^n + y^n } \hfill & { = (x - y)(x^{n - 1} + x^{n - 2} y + x^{n - 3} y^2 + .......... + xy^{n - 2} + y^{n - 1} ) + 2y^n ,\;\;n > 1} \hfill \\ {} \hfill & { = (x + y)(x^{n - 1} - x^{n - 2} y + x^{n - 3} y^2 - .......... + xy^{n - 2} - y^{n - 1} ) + 2y^n ,\;\;n > 1} \hfill \\ \end{array}

\begin{array}{*{20}c} {x^n + 1} \hfill & { = (x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + x^{n - 3} + .......... + x + 1)\,\; + \;2\;,\;\;n > 1} \hfill \\ {} \hfill & { = (x + 1)(x^{n - 1} - x^{n - 2} + x^{n - 3} - .......... + x - 1)\,\; + \;2\;,\;\;n > 1} \hfill \\ \end{array}

متطابقة الفرق بين مربيعن

x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
 

متطابقة الفرق بين مكعبين ومتطابقة مجموع مكعبين

\begin{array}{l} x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2 ) \\ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2 ) \\ \end{array}


نظرية ذات الحدين, لأي عدد طبيعي n فإن

(x + y)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right)} x^{n - k} y^k ,\quad \quad \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}

 

حالات خاصة من نظرية ذات الحدين

\begin{array}{l} (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \\ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \\ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 \\ (x - y)^3 = x^3 - 3x^2 y + 3xy^2 - y^3 \\ \end{array}

\begin{array}{l} (x + y)^4 = x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4xy^3 + y^4 \\ (x + y)^5 = x^5 + 5x^4 y + 10x^3 y^2 + 10x^2 y^3 + 5xy^4 + y^5 \\ \end{array}


تعميم نيوتن لنظرية ذات الحدين لأي أس حقيقي r.

 

(x + y)^r = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( \begin{array}{c} r \\ k \\ \end{array} \right)} x^{r - k} y^k ,\quad \begin{array}{*{20}c} {\left( \begin{array}{c} r \\ k \\ \end{array} \right)} \hfill & { = \frac{{r(r - 1)(r - 2) \cdots (r - (k - 1))}}{{k!}}} \hfill \\ \end{array}


حالات من متعددة الحدود

\begin{array}{l} (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \\ (a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2bc + 2cd + 2da + 2ac + 2bd \\ \end{array}

بشكل عام

(a_1 + a_2 + \cdots + a_n )^2 = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i ^2 } + 2\sum\limits_{i < j}^{} {a_i a_j }

متطابقات أخرى

(a + b + c)^3 - (a^3 + b^3 + c^3 ) = 3(a + b)(b + c)(c + a)

(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2 b + 3b^2 a + 3b^2 c + 3c^2 b + 3c^2 a + 3a^2 c + 6abc

 

متطابقة براغماهوبتا Brahmagupta والبعض يسميها متطابقة فيبوناشي Fibonacci

\left( {a^2 + b^2 } \right)\left( {c^2 + d^2 } \right) = \left( {ac - bd} \right)^2 + \left( {ad + bc} \right)^2

متطابقة المربعات الأربعة لأويلر (ناتج ضرب عددين كل واحد منهما مجموع لأربعة مربعات هو عدد على شكل مجموع لأربعة مربعات)

\begin{array}{*{20}c} {(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 )(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2 )} \hfill & { = (a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4 )^2 } \hfill \\ {} \hfill & { + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3 )^2 } \hfill \\ {} \hfill & { + (a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2 )^2 } \hfill \\ {} \hfill & { + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1 )^2 } \hfill \\ \end{array}

متطابقة لوبيج Lebesgue

\left( {a^2 + b^2 + c^2 + d^2 } \right)^2 = \left( {a^2 + b^2 - c^2 - d^2 } \right)^2 + \left( {2ac + 2bd} \right)^2 + \left( {2ad - 2bc} \right)^2

الحدوديات (كثيرات الحدود)

إذا كانت r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n جذور الحدودية

f(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + .......... + a_1 x + a_0 ,\;\;n > 1

وكانت

s_1 = \sum\limits_{1 \le i \le n} {r_i } ,\quad s_2 = \sum\limits_{1 \le i < j \le n} {r_i r_j } ,\quad s_3 = \sum\limits_{1 \le i < j < k \le n} {r_i r_j } r_k ,\quad \ldots \quad s_n = r_1 r_2 \cdots r_n

فإن

s_m = \frac{{( - 1)^m a_{n - m} }}{{a_n }}

مثلا

r_1 + r_2 + \cdots + r_n = \frac{{ - a_{n - 1} }}{{a_n }}

r_1 r_2 \cdots r_n = \frac{{( - 1)^n a_0 }}{{a_n }}

كذلك في حالة حدودية من الدرجة الثالثة فإن

s_2 = r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = \frac{{a_1 }}{{a_3 }}


منشور بعض الحدوديات

\begin{array}{l} (x + a_1 )(x + a_2 ) = x^2 + (a_1 + a_2 )x + a_1 a_2 \\ (x + a_1 )(x + a_2 )(x + a_3 ) = x^3 + (a_1 + a_2 + a_3 )x^2 + (a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1 )x + a_1 a_2 a_3 \\ \end{array}


\begin{array}{l} (x + a_1 )(x + a_2 )(x + a_3 )(x + a_4 ) \\ = x^4 + (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 )x^3 + (a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_4 + a_4 a_1 + a_1 a_3 + a_2 a_4 )x^2 \\ + (a_1 a_2 a_3 + a_2 a_3 a_4 + a_3 a_4 a_1 + a_4 a_1 a_2 )x + a_1 a_2 a_3 a_4 \\ \end{array}

 

علِّق

محتويات هذا الحقل سرية ولن تظهر للآخرين.
  • وسوم html المسموح بها: <a> <b> <em> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <dd> <div> <span> <p> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tr> <td> <hr>
  • LaTeX formulas are automatically converted into images.
  • Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
  • Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
  • Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق
This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
انسخ محتوى الصورة مع مراعاة حالة الأحرف