رد على التعليق

المثالية الرئيسية

Principal Ideal

تعريف المثالية المولدة بواسطة مجموعة جزئية

لتكن R حلقة و $A \subset R$ مجموعة غير خالية و $\{ I_j :A \subset I_j \}$ عائلة جميع المثاليات (المثاليات اليسرى) في R عندئذ فإن $\cap I_j$ تسمى المثالية (المثالية اليسرى) المولدة بواسطة A ويرمز لها $(A)$ .

إذا كانت $A = \{ x_1 ,x_2 , \ldots ,x_k \}$ مجموعة منتهية فإننا نقول أن $(A)$ مثالية (مثالية يسرى) ذات مولدات منتهيةfinitely generated Ideal ونكتب

$(A) = (x_1 ,x_2 , \ldots ,x_k )$

المثالية (المثالية اليسرى) $(x)$ المولدة بواسطة عنصر واحد $x \in R$ تسمى مثالية رئيسية principal ideal (مثالية رئيسية يسرى left principal ideal).

بطريقة مشابهة تعرف المثالية اليمنى المولدة بواسطة مجموعة $A \subset R$ .

توصيف عناصر مثالية رئيسية

المبرهنة التالية تعطي الطريقة التي نعبر بها عن عنصر اختياري من مثالية رئيسية $(x)$ وذلك حسب الخواص الإضافية التي تحققها الحلقة R. نترك التحقق من جميع هذه التعابير للقارئ.

مبرهنة: إذا كانت R حلقة و $x \in R$ وكانت $(x)$ مثالية أساسية فإن:

1) المثالية $(x)$ تكتب بوصف عناصرها بالشكل التالي

$(x) = \left\{ {rx + xs + nx + \sum\limits_{i = 1}^m {a_i xb_i \,:} \,\;r,s,a_i ,b_i \in R,\;\,n \in \mathbb{Z}\,,\,m \in \mathbb{Z}^ + } \right\}$

2) إذا كانت R ذات محايد فإن

$(x) = \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^m {a_i xb_i \,:} \,a_i ,b_i \in R,\,\,m \in \mathbb{Z}^ + } \right\}$

3) إذا كان x في مركز R أي $ax = xa$ لكل $a \in R$ (على وجه خاص إذا كانت R إبدالية) فإن

$(x) = \left\{ {ax + nx:\,a \in R,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right\}$

4) إذا كانت R ذات محايد وكان x في مركز R (على وجه خاص إذا كانت R إبدالية ذات محايد) فإن

$(x) = \left\{ {ax:\,a \in R} \right\} = Rx$

حقيقة: إذا كان a,b تنتمي لحلقة إبدالية R فإن

$(a)(b) \subset (ab)$

البرهان:

كما نعلم الضرب AB لمثاليتين A,B عبارة عن كل المجاميع المنتهية من الشكل $\Sigma ab$ حيث $a \in A$ و $b \in B$ . بالاعتماد على هذا وعلى التوصيف الخاص بالمثاليات الرئيسية في الحلقة الإبدالية المبين في المبرهنة أعلاه فإن كل عنصر في $(a)(b)$ عبارة عن مجموع منتهي من الشكل

$\Sigma (ra + na)(sb + mb) = \Sigma (rs + mr + ns)ab + (nm)ab \in (ab)$

حيث $m,n \in \mathbb{Z}$ و $r,s \in R$ . إذا $(a)(b) \subset (ab)$ .

المثالية الرئيسية اليمنى (اليسرى) في حلقة ذات محايد

إذا كانت R حلقة ذات محايد و a عنصر من R فإن

$aR = \{ ar:r \in R\}$

مثالية رئيسية يمنى مولدة بواسطة a لأنها تحوي a بسبب أن $a = 1a$ كما أن أي مثالية يمنى I تحوي a فإنها تحوي كل العناصر من الشكل $ar$ حيث $r \in R$ بمعنى $aR \subset I$ .

بالمناسبة إذا كانت R ليس لها محايد فإنه برغم أن $aR$ ستكون في هذه الحالة مثالية يمنى ولكنها قد لا تحتوي على a وليس بالضرورة أن تكون مثالية رئيسية يمنى.