رد على التعليق

المثالية الأولية

The Prime Ideal

تعريف

نقول عن مثالية I من حلقة R أنها أولية إذا كانت $R \ne I$ وكان لكل مثاليتين A,B في R فإن

$AB \subset I\,\,\, \Rightarrow \,\,\,A \subset I\,\,{\text{or}}\,\,B \subset I$

أمثلة على مثاليات أولية وغير أولية

1. المثالي $I = \{ 0\}$ في حلقة تامة هو مثالي أولي لأن إذا كان $a,b \in R$ بحيث $ab \in I$ فإن $ab = 0$ وبالتالي $a = 0$ و $b = 0$ .

2. في الحلقة $\mathbb{Z}_6$ المثالية $I = \{ 0,3\}$ أولية.

3. في الحلقة $\mathbb{Z}_8$ المثالية $I = \{ 0,4\}$ غير أولية حيث $4 = 2 \otimes 2 \in I$ بينما $2 \notin I$ .

4. إذا كان p عدد أولي فإن المثالية $\left\langle p \right\rangle = \{ np:n \in \mathbb{Z}\}$ من الحلقة $\mathbb{Z}$ مثالية أولية لإثبات ذلك افرض أن a,b صحيحين بحيث $ab \in \left\langle p \right\rangle$ يكفي إثبات أن أحدهما ينتمي للمثالية. بما أن $ab \in \left\langle p \right\rangle$ فإن $ab$ مضاعف للعدد p, أي أن $p|ab$ وحيث أن p أولي فإن $p|a$ أو $p|b$ . إذا a أو b ينتمي إلى $\left\langle p \right\rangle$ .

5. في الحلقة $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ تكون $\mathbb{Z} \oplus 0 = \{ (a,0):a \in \mathbb{Z}\}$ مثالية أولية, تأكد من ذلك.

6. في الحلقة $\mathbb{Z}[x]$ المكونة من كل الحدوديات ذات المعاملات الصحيحة المثالية المولدة بواسطة $\{ 2,x\}$ مثالية أولية وتتكون من كل الحدوديات من $\mathbb{Z}[x]$ التي حدها الثابت عدد زوجي, تأكد من ذلك.

7. في الحلقة $\mathbb{Z}(\sqrt { - 5} )$ المثالية $(2)$ ليست أولية. لبيان هذا لاحظ أن

$(1 - \sqrt { - 5} )(1 - \sqrt { - 5} ) = 6 = 2 \cdot 3 \in (2)$

ولكن $1 \pm \sqrt { - 5} \notin (2)$ لأن $\frac{1}{2} \pm \frac{{\sqrt { - 5} }}{2} \notin \mathbb{Z}(\sqrt { - 5} )$ .

مبرهنات في المثالية الأولية

فيما يلي نقدم صيغة بسيطة تعتبر شرطا كافيا لكي تكون I أولية ولكنها بشكل عام ليست شرطا ضروريا. إذا كانت R إبدالية فإنها تصبح ضرورية وكافية لتحقق الأولية على I.

مبرهنة1: إذا كانت $R \ne I$ مثالية في حلقة R بحيث لكل $a,b \in R$ يكون

$ab \in I\,\,\, \Rightarrow \,\,\,a \in I\,\,{\text{or}}\,\,b \in I\quad (*)$

فإن I أولية. وإذا كانت R إبدالية وIالمثالية I أولية فإن الشرط (*) متحقق.

البرهان: افرض أن I مثالية وأن $A,B$ مثاليتين بحيث $AB \subset I$ . إذا كانت أحدى المثاليتين ولتكن A ليست محتواه في I فإن هناك $a \in A\backslash I$ . لأي $b \in B$ فإن $ab \in AB \subset I$ وبالتالي وحسب الشرط (*) فإن $b \in I$ وبالتالي $B \subset I$ . أي أن I أولية.