رد على التعليق

الحلقة النيوثرية

Noetherian Ring

لمحة تاريخية

تعد الحلقة النيوثرية جزءا هاما من الجبر بالنسبة لنظرية العدد وبالذات في فرع الهندسة الجبرية. سميت الحلقة النيوثرية نسبة للرياضية الألمانية Amalie Emmy Noether (1882م-1935م) ووالدها هو الرياضي Max Noether. اشتهرت نيوثر بعملها في فروع جبرية متعددة مثل حقول العدد وحسبان التنوع وبإسهاماتها في الفيزياء النظرية. تعد نيوثر من أشهر النساء اللاتي عملن في حقل الرياضيات وتعتبر نظرية نويثر في الفيزياء من أفضل النظريات الرياضية الدافعة لتطور الفيزاء النظرية. أيضا يعزى لها الإستخدام البارع لشرط السلسة المتصاعدة وتوظيفها للمثاليات بفعالية أكبر في الحلقات. انتقلت في أواخر حياتها تحت ضغط النازية إلى الولايات المتحدة والتحقت بإحدى الكليات هناك. للمزيد حول حياتها وأعمالها انظر http://en.wikipedia.org/wiki/Emmy_Noether

رياضيات , جبر الحلقة النيوثرية Noether

Noetherian Ring

تعريف

نقول عن حلقة R أنها تحقق شرط السلسلة المتصاعدة ascending chain condition واختصاره ACC إذا كانت كل سلسلة تصاعدية

$A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots$

من المثاليات في R تصبح مستقرةstationary . بمعنى يوجد عدد صحيح موجب n بحيث

$A_n = A_{n + 1} = A_{n + 2} = \ldots$

نقول عن حلقة R أنها نيوثرية Noetherian إذا كانت تحقق شرط السلسلة المتصاعدة.

إذا الحلقة النيوثرية هي التي لا تحتوي على سلسلة لا نهائية ومتصاعدة فعليا strictly ascending من المثاليات.

بعض الأمثلة

1. كل حقل هو حلقة نيثورية

2. كل حلقة منتهية R هي حلقة نيثورية, حيث أن أي سلسلة من مثاليات متصاعدة فعليا يجب أن تكون منتهية.

3. الحلقة R للدوال الحقيقية $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ليست نيوثرية, لبيان ذلك عرف لكل صحيح موجب k المثالية

$A_k = \{ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}:f(2^k n) = 0\;{\text{for all }}n \in \mathbb{Z}\}$

واضح أن $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots$ متسلسلة لا نهائية تصاعدية فعليا لمثاليات من R.

نظريات وحقائق

حقيقة1: كل منطقة مثالية رئيسية هي حلقة نيوثرية.

البرهان: افرض أن $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots$ سلسلة لا نهائية متصاعدة لمثاليات في R. اجعل

$A = \bigcup\nolimits_{n = 1}^\infty {A_n }$

من تصاعدية السلسلة واضح أن A مثالية. بما أن R منطقة مثالية رئيسية يوجد $c \in R$ بحيث $(c) = A$ . من تعريف A يوجد $A_k$ بحيث $c \in A_k \subset A$ وبالتالي

$A = (c) \subset A_k \subset A_{k + 1} \subset \ldots \subset A$

إذا $A_{k + 1} = A_{k + 2} = A_{k + 3} = \ldots$ وبالتالي R نيوثرية.

مبرهنة2: إذا كانت R حلقة فإن التقارير التالية متكافئة:

(1) R حلقة نيوثرية.

(2) كل مثالية في R ذات مولدات منتهية.

(3) كل تجمع غير خالي S لمثاليات من R يحوي عنصر أعظم, أي أن S يحوي مثالية A غير محتواه في أي مثالية أخرى من S.

البرهان:

$(3) \Leftarrow (1)$ : افرض أن R نيوثرية ولتكن S مجموعة غير خالية لمثاليات في R. اختر $A_1 \in S$ . إذا لم تكن $A_1$ مثالية عظمى فإنه يوجد $A_2 \in S$ بحيث يكون $A_1 \subset A_2$ احتواء فعلي. إذا لم تكن $A_2$ مثالية عظمى فإنه يوجد $A_3 \in S$ بحيث $A_2 \subset A_3$ احتواء فعلي. السير على هذا المنوال يجب أن ينتهى لأن خلاف ذلك يؤدي إلى سلسلة متصاعدة لا نهائية لمثاليات من R. إذا يوجد $A_k \in S$ بحيث تكون عظمى في S.

$(2) \Leftarrow (3)$ : لتكن A مثالية في R. عرف S على أنها مجموعة المثاليات في R ذات المولدات المنتهية والمحتواه في A . إذا S تملك عنصر أعظم M, أي أن M غير محتواه فعليا في أي من عناصر S. إذا $M \subset A$ . إذا كانت $M \ne A$ فهناك $a \in A\backslash M$ وبالتالي $(M,a) \in S$ لكونها ذات مولدات منتهية ومحتواه في A. هذا يخالف أعظمية M في S. إذا $M = A$ أي أن A ذات مولدات منتهية.

$(1) \Leftarrow (2)$ : افرض أن $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots$ سلسلة لا نهائية متصاعدة لمثاليات في R. اجعل

$A = \bigcup\nolimits_{n = 1}^\infty {A_n }$

من تصاعدية السلسلة واضح أن A مثالية. إذا يوجد $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in R$ بحيث

$A = (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n )$

حسب تعريف A فإن لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ يوجد $A_{n_i }$ بحيث $a_i \in A_{n_i }$ . إذا جعلنا $k = \max \{ n_i \}$ فإن $a_i \in A_k$ لكل $1 \leqslant i \leqslant n$ وبالتالي

$A = (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n ) \subset A_k \subset A_{k + 1} \subset A_{k + 2} \subset \ldots \subset A$

وبالتالي $A_{k + 1} = A_{k + 2} = A_{k + 3} = \ldots$ وهذا يثبت أن R نيوثرية.

حقيقة3: كل عنصر غير صفري وليس عنصر وحدة من حلقة تامة نيوثرية R يمكن كتابته كحاصل ضرب لعناصر غير قابلة للتحليل. كحالة خاصة كل عنصر غير صفري وليس عنصر وحدة من منطقة مثالية رئيسية أو حلقة إقليدية يمكن كتابته كحاصل ضرب لعناصر غير قابلة للتحليل.

البرهان: تذكر في حلقة إبدالية ذات محايد لدينا $(a) \subset (b) \Leftrightarrow b|a$ وكذلك $(a) = (b)$ إذا وإذا فقط كان a,b متشاركان وهذا في الحلقات التامة يتحقق إذا وإذا فقط وجد عنصر وحدة u بحيث $a = ub$ .

الآن عرف S لتكون مجموعة جميع المثاليات من الشكل $(x)$ حيث x لا يمكن كتابته كحاصل ضرب عناصر غير قابلة للتحليل. بما أن R نيوثرية فإن S لها عنصر أعظم وليكن $(a)$ . بما أن a لا يمكن كتابته كحاصل ضرب عناصر غير قابلة للتحليل فإنه بنفسه لا يمكن أن يكون غير قابل للتحليل. إذا $a = bc$ حيث كلا من a,b ليست عناصر وحدة. إذا $(a) \subset (b)$ لأن $b|a$ . وحيث أن هذا الاحتواء فعلي لأن عكس ذلك يعني أن c عنصر وحدة فإن أعظمية $(a)$ تقتضي بأن b يمكن كتابته كحاصل ضرب عناصر غير قابلة للتحليل. بمحاورة مشابهة نصل إلى أن c أيضا يمكن كتابته كحاصل ضرب عناصر غير قابلة للتحليل. إذا أمكن كتابة a كحاصل ضرب عناصر غير قابلة للتحليل وهذا تناقض.