رد على التعليق

حل الجمل (النظمة) الخطية بالمصفوفات

Solving linear system by matrices

لن نعتمد الجانب النظري أو المجاهيل في كتابة هذا الموضوع بل سـأضع مثالاً و أطبق عليه الطريقة.

هذه الطريقة صالحة من أجل $\det (A) \ne 0$ حيث A المصفوفة، لأن المصفوفة القابلة للانعكاس إذا وإذا فقط $\det (A) \ne 0$

معكوس مصفوفة

لتكن A مصفوفة معرفة كما يلي:

$A=\left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & { - 3} & 1 \\ \end{array}} \right]$

الخطوة الأولى : حساب محدد المصفوفة ، وسنختار العمود الأخير لحسابه. إذا

$\det (A) = 1 \times \left| {\begin{array}{*{20}c} 2 & 1 \\ 3 & { - 3} \\\end{array}} \right| - 0 \times \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} \\ 3 & { - 3} \\\end{array}} \right| + 1 \times \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} \\ 2 & 1 \\\end{array}} \right| = - 9 + 5 = - 4$

إذا المصفوفة قابلة للإنعكاس .

الخطوة الثانية : نقوم بحساب ألفة المصفوفة. إن حساب الألفة يعتمد على حساب المحدد و يمز لها بـ $\tilde A$

$\tilde A = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { + ( + 1)} & { - ( + 2)} & { + ( - 9)} \\ { - ( - 1)} & { + ( - 2)} & { - ( + 3)} \\ { + ( - 1)} & { - ( - 2)} & { + ( + 5)} \\\end{array}} \right]$

كيف تم الحساب ؟

بخصوص الإشارات خارج الأقواس، يتم وضعها بشكل تلقائي بعد الحساب و هي ضمن قانون الألفة، و تتوزع بشكل دوري + ثم - ثم + ثم - و هكذا. أما القيم داخل الأقواس سأبين كيف تم الحساب. السطر الأول $\begin{array}{*{20}c} { + 1} & { + 2} & { - 9} \\\end{array}$ ، تم الحساب كتالي :

1) نختار الموقع الأول ( تقاطع العمود الأول و السطر الأول ) ، من المصفوفة A و الحامل لرقم 1 ثم نحسب المحدد الناتج عنه و هو $\left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ { - 3} & 1 \\\end{array}} \right|$ فنحصل على القيمة 1 دون ضربها في القيمة الموجودة في الموضع الأول من A نضعها في الموضع الأول .

2) القيمة +2 ، بنفس الطريقة نختار الآن الموضع الثاني ( تقاطع السطر الأول و العمود الثاني ) ، الحامل للقيمة -2 و نحسب المحدد الناتج عنه وهو $\left| {\begin{array}{*{20}c} 2 & 0 \\ 3 & 1 \\\end{array}} \right|$ و تكون النتيجة هي 2 . فنضعها في الموضع الثاني . دون الضرب في القيمة الأصلية الموجودة في A . و نواصل العملية مع باقي القيم لنحصل على الألفة .

الخطوة الثالثة: حساب المنقولة. وهي بسيطة تعتمد على تحويل أسطر الألفة إلى أعمدة و أعمدة الألفة إلى اسطر لنجد

$\tilde A^t = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 1} & { - 1} \\ { - 2} & { - 2} & 2 \\ { - 9} & { - 3} & 5 \\\end{array}} \right]$

الخطوة الرابعة: حساب مقلوب المصفوفة.

$A^{ - 1} = \frac{{\tilde A^t }}{{\det (A)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { - 1/4} & {1/4} & {1/4} \\ {1/2} & {1/2} & { - 1/2} \\ {9/4} & {3/4} & { - 5/4} \\\end{array}} \right]$

حل الجمل (النظم) الخطية

نعلم أن الجمل الخطية تقبل أكثر من صيغة نختار منها ، الصيغة المصفوفية ، وهي كتالي $A.X = B$ حيث A هي المصفوفة ، و X مصفوفة المجاهيل ، و B مصفوفة نواتج الجملة

لتكن الجملة التالية

$\begin{array}{l} x - 2y + z = 3 \\ 2x + y = 5 \\ 3x - 3y + z = 4 \\ \end{array}$

معاملات المجاهيل هي القيم المكونة للمصفوفة A وتسمى مصفوفة المعاملات. والمصفوفة X فهي مصفوفة المجاهيل, أما المصفوفة Bفهي للقيم المطلقة.

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & { - 3} & 1 \\\end{array}} \right],\quad X = \left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\\end{array}} \right],\quad B = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 5 \\ 4 \\\end{array}} \right]$

وبالتالي يصبح النظام أو جملة المعادلات الخطية بالشكل التالي

$\left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & { - 2} & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & { - 3} & 1 \\\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 5 \\ 4 \\\end{array}} \right]$

أو $AX = B$ وهي المعادلة المصفوفة الممثلة لجملة المعادلات الخطية. بما أن A قابلة للانعكاس فإن $X = A^{ - 1} \cdot B$ أي أن

$\left[ {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ z \\\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}c} { - 1/4} & {1/4} & {1/4} \\ {1/2} & {1/2} & { - 1/2} \\ {9/4} & {3/4} & { - 5/4} \\\end{array}} \right].\left[ {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 5 \\ 4 \\\end{array}} \right]$

و منه نجد حل الجملة الخطية:

$\begin{array}{l} x = \frac{{ - 3}}{4} + \frac{5}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{2} \\ y = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} - \frac{4}{2} = 2 \\ z = \frac{{27}}{4} + \frac{{15}}{4} - \frac{{20}}{4} = \frac{{11}}{2} \\ \end{array}$

* كتب أصل المقال من قبل العقل الجميل- منتدى الرياضيات رمز

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

رد على التعليق

حل الجمل (النظمة) الخطية بالمصفوفات

Solving linear system by matrices

رد

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة