الصفحة الرئيسية » قوانين في الجبر التقليدي 1

رد على التعليق

قوانين في الجبر التقليدي 1

 

قواعد المجموع

\begin{array}{*{20}c} {\sum\limits_{k = 1}^n a = na} \hfill & {\sum\limits_{k = 1}^n {(a_n } + b_n ) = \sum\limits_{k = 1}^n {a_n } + \sum\limits_{k = 1}^n {b_n } } \hfill \\ {} \hfill & {} \hfill \\ {\sum\limits_{k = 1}^n {ca_n } = c\sum\limits_{k = 1}^n {a_n } \quad } \hfill & {\sum\limits_{k = 1}^m {a_n } + \sum\limits_{k = m + 1}^n {a_n } = \sum\limits_{k = 1}^n {a_n } } \hfill \\\end{array}

مجاميع قوى أعداد متتالية

\begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^n k = \frac{1}{2}n(n + 1) \\ \sum\limits_{k = 1}^n {k^2 } = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) \\ \sum\limits_{k = 1}^n {k^3 } = \left( {1 + 2 + 3 + \cdots + n} \right)^2 = \left( {\frac{1}{2}n(n + 1)} \right)^2 \\ \end{array}

\begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^n {k^4 } = \frac{1}{{30}}n(n + 1)(2n + 1)(3n^2 + 3n - 1) \\ \sum\limits_{k = 1}^n {k^5 } = \frac{1}{{12}}n^2 (n + 1)^2 (2n^2 + 2n - 1) \\ \end{array}

\begin{array}{l} \sum\limits_{k = 1}^n {k^6 } = \frac{1}{{42}}n(n + 1)(2n + 1)(3n^4 + 6n^3 - 3n + 1) \\ \sum\limits_{k = 1}^n {k^7 } = \frac{1}{{24}}n^2 (n + 1)^2 (3n^4 + 6n^3 - n^2 - 4n + 2) \\ \end{array}


متسلسلة حسابية لها n حدا وحدها الأول a وأساسها d


\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {(a + kd) = \frac{n}{2}} \left[ {2a + (n - 1)d} \right]

متسلسلات هندسية

\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {ar^k } = a\frac{{1 - r^n }}{{1 - r}},\quad (r \ne 1),\quad \sum\limits_{k = 0}^\infty {ar^k } = a\frac{1}{{1 - r}},\quad ( - 1 < r < 1)


\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {kr^k } = \frac{{(n - 1)r^{n + 1} - nr^n + r}}{{(1 - r)^2 }},\quad (r \ne 1),\quad \sum\limits_{k = 0}^\infty {kr^k } = \frac{r}{{(1 - r)^2 }},\quad ( - 1 < r < 1)

 

متسلسلات توافقية

H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{{n - 1}} + \frac{1}{n},\quad \quad \sum\limits_{i = 1}^n {H_i } = (n + 1)H_n - n

\sum\limits_{i = 1}^n {iH_i } = \frac{{n(n + 1)}}{2}H_n - \frac{{n(n - 1)}}{4},\quad \sum\limits_{i = 1}^n {\left( \begin{array}{l} i \\ m \\ \end{array} \right)H_i } = \left( \begin{array}{l} n + 1 \\ m + 1 \\ \end{array} \right)\left( {H_{n + 1} - \frac{1}{{m + 1}}} \right)

 

متطابقات

x^n - y^n = (x - y)(x^{n - 1} + x^{n - 2} y + \cdots + xy^{n - 2} + y^{n - 1} ),\;n > 1

x^{mn} - 1 = (x^m - 1)(x^{m(n - 1)} + x^{m(n - 2)} + x^{m(n - 3)} + .......... + x^m + 1),\;\;m \ge 1,n > 1

x^n - 1 = (x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + x^{n - 3} + .......... + x + 1),\;\;n > 1

 

في حالة x^n + y^n فإن الصيغة تختلف حسب ما إذا كان n زوجي أم فردي

إذا كان n عدد فردي فإن

x^n + y^n = (x + y)(x^{n - 1} - x^{n - 2} y + x^{n - 3} y^2 - .......... - xy^{n - 2} + y^{n - 1} )\;\;n > 1,

x^n + 1 = (x + 1)(x^{n - 1} - x^{n - 2} + x^{n - 3} - .......... - x + 1)\;\;n > 1,

إذا كان n عدد زوجي فإن

\begin{array}{*{20}c} {x^n + y^n } \hfill & { = (x - y)(x^{n - 1} + x^{n - 2} y + x^{n - 3} y^2 + .......... + xy^{n - 2} + y^{n - 1} ) + 2y^n ,\;\;n > 1} \hfill \\ {} \hfill & { = (x + y)(x^{n - 1} - x^{n - 2} y + x^{n - 3} y^2 - .......... + xy^{n - 2} - y^{n - 1} ) + 2y^n ,\;\;n > 1} \hfill \\ \end{array}

\begin{array}{*{20}c} {x^n + 1} \hfill & { = (x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + x^{n - 3} + .......... + x + 1)\,\; + \;2\;,\;\;n > 1} \hfill \\ {} \hfill & { = (x + 1)(x^{n - 1} - x^{n - 2} + x^{n - 3} - .......... + x - 1)\,\; + \;2\;,\;\;n > 1} \hfill \\ \end{array}

متطابقة الفرق بين مربيعن

x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

متطابقة الفرق بين مكعبين ومتطابقة مجموع مكعبين

\begin{array}{l} x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2 ) \\ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2 ) \\ \end{array}


 نظرية ذات الحدين, لأي عدد طبيعي n فإن

(x + y)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right)} x^{n - k} y^k ,\quad \quad \left( \begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array} \right) = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}

 

حالات خاصة من نظرية ذات الحدين

\begin{array}{l} (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \\ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \\ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 \\ (x - y)^3 = x^3 - 3x^2 y + 3xy^2 - y^3 \\ \end{array}

\begin{array}{l} (x + y)^4 = x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4xy^3 + y^4 \\ (x + y)^5 = x^5 + 5x^4 y + 10x^3 y^2 + 10x^2 y^3 + 5xy^4 + y^5 \\ \end{array}


تعميم نيوتن لنظرية ذات الحدين لأي أس حقيقي r

 

(x + y)^r = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( \begin{array}{c} r \\ k \\ \end{array} \right)} x^{r - k} y^k ,\quad \begin{array}{*{20}c} {\left( \begin{array}{c} r \\ k \\ \end{array} \right)} \hfill & { = \frac{{r(r - 1)(r - 2) \cdots (r - (k - 1))}}{{k!}}} \hfill \\ \end{array}


حالات من متعددة الحدود

\begin{array}{l} (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \\ (a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2bc + 2cd + 2da + 2ac + 2bd \\ \end{array}

بشكل عام

(a_1 + a_2 + \cdots + a_n )^2 = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i ^2 } + 2\sum\limits_{i < j}^{} {a_i a_j }

متطابقات أخرى

(a + b + c)^3 - (a^3 + b^3 + c^3 ) = 3(a + b)(b + c)(c + a)

(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2 b + 3b^2 a + 3b^2 c + 3c^2 b + 3c^2 a + 3a^2 c + 6abc

 

متطابقة براغماهوبتا Brahmagupta والبعض يسميها متطابقة فيبوناشي Fibonacci

\left( {a^2 + b^2 } \right)\left( {c^2 + d^2 } \right) = \left( {ac - bd} \right)^2 + \left( {ad + bc} \right)^2


متطابقة المربعات الأربعة لأويلر (ناتج ضرب عددين كل واحد منهما مجموع لأربعة مربعات هو عدد على شكل مجموع لأربعة مربعات)

\begin{array}{*{20}c} {(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 )(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2 )} \hfill & { = (a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4 )^2 } \hfill \\ {} \hfill & { + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3 )^2 } \hfill \\ {} \hfill & { + (a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2 )^2 } \hfill \\ {} \hfill & { + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1 )^2 } \hfill \\ \end{array}

متطابقة لوبيج Lebesgue

\left( {a^2 + b^2 + c^2 + d^2 } \right)^2 = \left( {a^2 + b^2 - c^2 - d^2 } \right)^2 + \left( {2ac + 2bd} \right)^2 + \left( {2ad - 2bc} \right)^2

الحدوديات (كثيرات الحدود)

إذا كانت r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n جذور الحدودية

f(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + .......... + a_1 x + a_0 ,\;\;n > 1

وكانت

s_1 = \sum\limits_{1 \le i \le n} {r_i } ,\quad s_2 = \sum\limits_{1 \le i < j \le n} {r_i r_j } ,\quad s_3 = \sum\limits_{1 \le i < j < k \le n} {r_i r_j } r_k ,\quad \ldots \quad s_n = r_1 r_2 \cdots r_n

فإن

s_m = \frac{{( - 1)^m a_{n - m} }}{{a_n }}

مثلا

r_1 + r_2 + \cdots + r_n = \frac{{ - a_{n - 1} }}{{a_n }}

r_1 r_2 \cdots r_n = \frac{{( - 1)^n a_0 }}{{a_n }}

كذلك في حالة حدودية من الدرجة الثالثة فإن

s_2 = r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = \frac{{a_1 }}{{a_3 }}


 منشور بعض الحدوديات

\begin{array}{l} (x + a_1 )(x + a_2 ) = x^2 + (a_1 + a_2 )x + a_1 a_2 \\ (x + a_1 )(x + a_2 )(x + a_3 ) = x^3 + (a_1 + a_2 + a_3 )x^2 + (a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_1 )x + a_1 a_2 a_3 \\ \end{array}


\begin{array}{l} (x + a_1 )(x + a_2 )(x + a_3 )(x + a_4 ) \\ = x^4 + (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 )x^3 + (a_1 a_2 + a_2 a_3 + a_3 a_4 + a_4 a_1 + a_1 a_3 + a_2 a_4 )x^2 \\ + (a_1 a_2 a_3 + a_2 a_3 a_4 + a_3 a_4 a_1 + a_4 a_1 a_2 )x + a_1 a_2 a_3 a_4 \\ \end{array}

 

رد

  • Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
  • Every instance of "<!--tableofcontents-->" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: <!--tableofcontents list: ol; title: Table of Contents; minlevel: 1; maxlevel: 2;-->. All arguments are optional and defaults are shown.
  • LaTeX formulas are automatically converted into images.
  • وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <em> <center> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
  • بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
  • تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
  • Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
  • Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
  • Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
  • Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
  • Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
  • Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق
This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.
Image CAPTCHA
انسخ محتوى الصورة مع مراعاة حالة الأحرف