نظرية النقطة الثابتة في الانكماش

Contraction Fixed Point Theorem

تعريف 1: ليكن $(X,d)$ فضاء متري. نقول أن الدالة $f:X \to X$ أنها انكماش Contraction إذا وجد عدد $0 < \alpha < 1$ بحيث

$d(f(x),f(y)) \le \alpha d(x,y),\quad \forall x,y \in X$

واضح من هذا التعريف أن دالة الانكماش متصلة بانتظام وبالتالي متصلة على X.

إذا وجد لدالة الانكماش نقطة ثابتة فإنها وحيدة . النظرية التالية تبين الشرط الكافي لوجود نقطة ثابتة لهذا النوع من الدوال.

نظرية1 (نظرية النقطة الثابتة للانكماش): كل دالة انكماش f على فضاء متري تام X لها نقطة ثابتة وحيدة. بمعنى هناك $x \in X$ بحيث $f(x) = x$ .

الإثبات: افرض أن a نقطة اختيارية من X . عرف استنتاجيا المتتابعة التالية:

$\begin{array}{l} x_o = a \\ x_{n + 1} = f(x_n ) \\ \end{array}$

سنثبت أولا أن هذه متتابعة كوشي في X . بما أن f انكماش فإن :

$\begin{array}{l} d(x_2 ,x_1 ) = d(f(x_1 ),f(x_0 )) \le \alpha d(x_1 ,x_0 ) \\ d(x_3 ,x_2 ) = d(f(x_2 ),f(x_1 )) \le \alpha d(x_2 ,x_1 ) = \alpha ^2 d(x_1 ,x_0 ) \\ \end{array}$

بشكل عام وبالاستقراء الرياضي ينتج لنا

$d(x_{n + 1} ,x_n ) \le \alpha ^n d(x_1 ,x_0 )$

باستخدام المتباينة المثلثلية نجد أن لكل $m > n$

$\begin{array}{c}d(x_m ,x_n ) \le d(x_m ,x_{m - 1} ) + d(x_{m - 1} ,x_{m - 2} ) + \cdots + d(x_{n + 1} ,x_n ) \\ \le \alpha ^m d(x_1 ,x_0 ) + \alpha ^{m - 1} d(x_1 ,x_0 ) + \cdots + \alpha ^n d(x_1 ,x_0 ) \\ = (\alpha ^m + \alpha ^{m - 1} + \cdots + \alpha ^n )d(x_1 ,x_0 ) \\ = \alpha ^n (\alpha ^{m - n} + \alpha ^{m - n - 1} + \cdots + \alpha + 1)d(x_1 ,x_0 ) \\ \end{array}$

ضع $d(x_1 ,x_0 ) = K$ . إذا

$d(x_m ,x_n ) < \alpha ^n (1 + \alpha + \alpha ^2 + \cdots )K = \frac{{\alpha ^n }}{{1 - \alpha }}K$

حيث $0 < \alpha < 1$ فإن $\alpha ^n \to 0$ وبالتالي $(x_n )$ متتابعة كوشي . إذا يوجد $u \in X$ بحيث:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } x_n = u$

ذلك لأن X فضاء تام. من اتصال f ينتج

$u = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } x_{n + 1} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f(x_n ) = f(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } x_n ) = f(u)$

إذا u نقطة ثابتة للدالة f . وهي النقطة الثابتة الوحيدة لأنه إذا فرضنا وجود أخرى v فإن الانكماش يقتضي أن

$d(u,v) = d(f(u),f(v)) \le \alpha d(u,v)$

وهذا لا يتحقق لا إذا كان $d(u,v) = 0$ . أي $u = v$ .

هذه النظرية تعطي من خلال برهانها طريقة بنائية لإيجاد النقطة الثابتة , فهي النهاية لمتتابعة كل حد فيها (ما عدا الأول) عبارة عن صورة الذي قبله بواسطة f . أيضا اتضح لنا أن النقطة الابتدائية $x_o$ هي أي نقطة من الفضاء المتري والتقارب مستقل عن هذا الاختيار. يمكن أيضا من خلال المتباينة

$d(x_m ,x_n ) < \frac{{\alpha ^n }}{{1 - \alpha }}K$

أن نعطي تقدير لسرعة تقارب $(x_n )$ بجعل $m \to \infty$ .

$d(u,x_n ) < \frac{{\alpha ^n }}{{1 - \alpha }}K = \frac{{\alpha ^n }}{{1 - \alpha }}d(x_1 ,x_0 )$

نذكر بأن شرط التمام لا يمكن إزالته من النظرية , قدم مثال على ذلك. كذلك الشرط $0 < \alpha < 1$ لا يمكن استبداله بعدد موجب مطلقا وكمثال خذ الدالة

$f(x) = \frac{1}{{1 + x^2 }}$

على الفضاء المتري التام $X = [0,\infty )$ مع دالة المسافة المعتادة حيث تحقق شرط الانكماش عندما $\alpha = 1$ ومع ذلك لا تملك نقطة ثابتة.

نتيجة 1: إذا كانت $f:X \to X$ دالة على فضاء متري $(X,d)$ بحيث أن $f^n$ انكماش Contraction فإن الدالة f تملك نقطة ثابتة وحيدة. حيث $f^n$ تعني تحصيل (تركيب) f عدد n من المرات.

للإثبات استخدام الأسلوب المتبع في برهان الوحدانية في النظرية أعلاه مع ملاحظة أن

$f(x) = f(f^n (x)) = f^n (f(x))$

وذلك عند النقطة الثابتة للدالة $f^n$ .

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

نظرية النقطة الثابتة في الانكماش

Contraction Fixed Point Theorem

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة