صيغة ديموافر

de Moivre's formula

ديموافر (1667-1754م) رياضي فرنسي الأصل والمولد, عمل في حقل الاحتمالات واشتهر بصيغته التي سنعرضها الآن والتي حملت اسمه بعد مماته وقد توفي في مدينة لندن.

نظرية 1 (صيغة ديموافر): إذا كانت $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ فإن

$\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$

أو بعبارة أخرى وباستخدام صيغة أويلر $e^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta$ تأخذ صيغة ديموافر الصورة التالية

$(e^{i\theta } )^n = e^{in\theta }$

البرهان: الصيغة صحيحة عند n=0. نثبت الآن صحتها عند كل عدد صحيح موجب n بواسطة الاستقراء الرياضي^[م]. واضح أن الصيغة صحيحة عند k=1 . الآن افرض أنها صحيحة عند العدد الصحيح الموجب k. إذا

$\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)^k = \cos k\theta + i\sin k\theta$

إذا

$\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)^{k + 1} = \left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)^k \cdot \left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)$

$\begin{array}{l} = \left( {\cos k\theta + i\sin k\theta } \right) \cdot \left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right) \\ = \cos k\theta \cos \theta - \sin k\theta \sin \theta + i\left( {\cos k\theta \sin \theta + \sin k\theta \cos \theta } \right) \\ = \cos (k\theta + \theta ) + i\sin (k\theta + \theta ) = \cos (k + 1)\theta + i\sin (k + 1)\theta \\ \end{array}$

إذا

$\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)^{k + 1} = \cos (k + 1)\theta + i\sin (k + 1)\theta$

إذا صيغة ديموافر متحققة عند العدد الصحيح k+1 ومن مبدأ الاستقراء الرياضي^[م] متحققة لكل عدد صحيح موجب.

نثبت الآن صحة صيغة ديموافر لكل عدد صحيح سالب بناء على صحتها لكل عدد صحيح موجب. فإذا كان $- m$ عدد صحيحا سالبا فمن الجزء المثبت آنفا لدينا

$\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)^{ - m} = \frac{1}{{\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)^m }} = \frac{1}{{\cos m\theta + i\sin m\theta }}$