المشتقة

The Derivative

تعريف 1: لتكن $f:J \to \mathbb{R}$ دالة وكانت $x_o$ عنصر من الفترة $J$ . نقول أن الدالة قابلة للتفاضل differentiable(تفاضلية) عند $x_o$ إذا وجدت النهاية

$f(x_o ) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_o } \frac{{f(x) - f(x_o )}}{{x - x_o }} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x_o + h) - f(x_o )}}{h}$

في هذه الحالة نرمز لهذه النهاية بالرمز $f'(x_o )$ وتسمى مشتقة الدالة f عند $x_o$ . نقول أن الدالة f قابلة للتفاضل على $S \subset J$ إذا كانت قابلة للتفاضل عند كل نقطة من S.

الدالة التي تخصص لكل نقطة $x \in [a,b]$ مشتقتها (إن وجدت هذه المشتقة) تسمى الدالة المشتقة ونرمز لها برمز نيوتن $f'$ أو رمز ليبنز $\frac{{df}}{{dx}}$ وأحيانا رمز أويلر $D_x f$ .

إذا كانت $J = [a,b]$ فعند نقطتي النهاية, نعرف ما يسمى مشتقة الجهة الواحدة كالتالي :

$f(a^ +) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a^ +} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^ +} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}$

$f(b^ -) = \mathop {\lim }\limits_{x \to b^ -} \frac{{f(x) - f(b)}}{{x - b}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^ -} \frac{{f(b + h) - f(b)}}{h}$

بشرط وجود هذه النهايات ويطلق عليها بالمشتقة اليمنى واليسرى على الترتيب.

مثال 1: إذا كانت $f:[2,\infty ) \to \mathbb{R}$ معرفة بالقانون $f(x) = x^5$ ولتكن c قطة اختيارية من $(2,\infty )$

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{f(x) - f(c)}}{{x - c}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{x^5 - c^5 }}{{x - c}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{{(x - c)(x^4 + x^3 c + x^2 c^2 + xc^3 + c^4 )}}{{x - c}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} (x^4 + x^3 c + x^2 c^2 + xc^3 + c^4 ) = 5c^4 \\ \end{array}$

بنفس الأسلوب نجد أن $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ + } \frac{{x^5 - 2^5 }}{{x - 2}} = 5 \times 2^4$ وعليه فإن الدالة f قابلة للتفاضل على كامل مجالها وأن :

$f'(x) = 5x^4$

نظرية 1: إذا كانت $f:J \to \mathbb{R}$ دالة قابلة للتفاضل (تفاضلية) عند النقطة $x_o$ فإنها متصلة عند هذه النقطة .الإثبات: لتكن $x \in J$ نقطة مغايرة للنقطة $x_o$ . إذا

$f(x) - f(x_o ) = \frac{{f(x) - f(x_o )}}{{x - x_o }}(x - x_o )$

الآن خذ النهاية للطرفين مع توزيع النهاية على الضرب الموجود في الطرف الأيمن مع ملاحظة أن

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o } [f(x) - f(x_o )] = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_o } \frac{{f(x) - f(x_o )}}{{x - x_o }}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o } (x - x_o ) = f'(x_o ) \times 0 = 0$

إذا $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o } f(x) - \mathop {\lim }\limits_{x \to x_o } f(x_o ) = 0$ وبالتالي $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o } f(x) = f(x_o )$ . إذا f متصلة عند $x_o$ .

إذا الاتصال شرط ضروري لوجود المشتقة عند نقطة , ولكنه ليس كافيا , بمعنى وجوده في دالة لا يكفي لوجود المشتقة والأمثلة على هذا مألوفة في الكتب المقررة.

مراجع

1. المدخل الى التحليل الرياضي , خضر حامد الأحمد

2. Introduction to Real Analyssis , R. G Partle, D. R. Sherbert

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

المشتقة

The Derivative

التعليقات

جيد

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة