المعادلة الديفونتية

Diophantine Equation

 

المعادلات الديفونتية احد فروع نظرية العدد الرئيسية, وهناك ثلاث مسائل نهتم بها في دراسة المعادلات الديفونتية أكثر من غيرها, وجود الحل وعدد الحلول وطرق إيجاد هذه الحلول. والمسألة الأخيرة هي المسألة العاشرة من ضمن مسائل هيلبرت الشهيرة التي ذكرها في عام 1990م "البحث عن طريقة حسابية تمكن من تحديد ما إذا كان لمعادلة ديفونتية حلا أم لا"

 

من أوائل من عمل على هذا النوع من المعادلات هو ديوفنتس الاسكندراني Diophantus of Alexandria, نسبة لمدينة الاسكندرية في مصر التي عاش وتعلم فيها في القرن الثالث قبل الميلاد, وقدم سلسلة كتبه المسماه arithmetica التي تضمنت طرقا لحل المعادلات ذات مجاهيل في الأعداد الصحيحة وهي ما تسمى اليوم بالمعادلات الديفونتية نسبة لهذا الرياضي الذي اختلف في أصله, حيث يعتبره البعض يونانيا والبعض يعتبره مصريا ومنهم من يذهب لغير ذلك. يذكر أن عمله هذا من أروع ما قدم في العمل الحسابي المجرد قديما ويعد ديوفنتس من أوائل من أدخل الترميز على هذا الفرع الرياضي.

 

تعرف المعادلة الديفونتية على أنها معادلة على مجموعة الأعداد الصحيحة Z فقط, أي يسمح بمجاهيلها تنتمي للمجوعة Z. المعادلة الخطية في مجهولين هي معادلة من الشكل


أمثلة على معادلات ديفونتية

1) المعادلة x+y=9 وهذه لها عدد لا نهائي من الحلول, فكل ثنائي (a,9-a) يمثل حلا, حيث a عدد صحيح.

2) المعادلة x=2y+1 , لها أيضا عدد لا نهائي من الحلول, ولكن x يجب أن يكون فرديا.

3) المعادلة الديفونتية x^2 + y^2 = 5^2 لها ثمانية حلول عبارة عن ثنائيات مرتبة مركباتها من {4,-4,3,-3}.

4) المعادلة x^2 + y^2 = z^2 لها عدد لا نهائي من الحلول, كل حل عبارة عن ثلاثي (a,b,c) تسمى ثلاثيات فيثاغورس. جدير بالذكر أن x^n + y^n = z^n ليس لها حل في Z* وذلك لكل طبيعي n أكبر من 2 وهذه تعرف باسم نظرية فيرما الكبرى.