الضرب المباشر في الحلقيات

Direct Product (modules)

كما نعلم, إذا كانت $M,N$ حلقيتين على R فإن الضرب الديكارتي $M \times N$ مع عمليتي الجمع والضرب التاليتين يصبح حلقية على R تسمى حلقية حاصل الضرب.

$\begin{gathered} (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d), \hfill \\ r(a,b) = (ra,rb) \hfill \\ \end{gathered}$

حيث $(a,b),(c,d) = M \times N$ و $r \in R$

الضرب المباشر يعتبر تعميم لحاصل ضرب حلقيتين لأي عدد (حتى لو كان لا نهائيا) من الحلقيات.

الضرب المباشر للحلقيات

إذا كانت $\{ M_i :i \in I\}$ عائلة من الحلقيات على حلقة R مفهرسة بمجموعة أدلة I ولتكن f,g دالتين من الضرب اللانهائي $\prod\limits_{i \in I} {M_i }$ . الضرب المباشر the direct product لعائلة الحلقيات هو الضرب الديكارتي $\prod\limits_{i \in I} {M_i }$ مع عملية الجمع $f + g$ حيث $(f + g)(i) = f(i) + g(i)$ وعملية الضرب $rf$ حيث $(rf)(i) = rf(i)$ .

بما أن $M_i$ حلقية لكل $i \in I$ فإن $rf_i ,\;\;f_i + g_i \in M_i$ . من السهل التحقق أن $\prod\limits_{i \in I} {M_i }$ حلقية تحت هاتين العمليتين.

إذا طابقنا الدالة f مع صورتها $\{ f_i \}$ حيث $f_i = f(i)$ والدالة g مع صورتها $\{ g_i \}$ حيث $g_i = g(i)$ لكل $i \in I$ فإن عمليتي الجمع والضرب المعرفة أعلاه تأخذ شكل جمع المركبات وضربها, أي

$\begin{gathered} (i)\;\,\,\{ f_i \} + \{ g_i \} = \{ f_i + g_i \} , \hfill \\ (ii)\,\,r\{ f_i \} = \{ rf_i \} \hfill \\ \end{gathered}$

عندما تكون $I = \{ 1,2, \ldots ,n\}$ منتهية نكتب حلقية الضرب المباشر بالشكل $M_1 \times M_2 \times \cdots \times M_n$ واحيانا نستخدم ترميز الجمع فنكتب بدلا من ذلك $M_1 \oplus M_2 \oplus \cdots \oplus M_n$ . في هذه الحالة كل دالة يمكن مطابقتها بصورتها كنوني مرتب, أي أن

$M_1 \times M_2 \times \cdots \times M_n = \{ (a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n ):a_i \in M_i,\,\,1 \leqslant i \leqslant n\}$

وعملية الجمع وعملية الضرب العددي تأخذ الشكل

$\begin{gathered} (i)\,\,\,\,(a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n ) + (b_1 ,b_2 , \ldots ,b_n ) = (a_1 + b_1 ,a_2 + b_2 , \ldots ,a_n + b_n ), \hfill \\ (ii)\,\,r(a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n ) = (ra_1 ,ra_2 , \ldots ,ra_n ) \hfill \\ \end{gathered}$

لكل $a_i ,b_i \in M_i$ و $r \in R$ .

الحلقية $R^n$

الضرب المباشر $R \times R \times \cdots \times R$ لعدد k نسخة من الحلقة R يعتبر حلقية على R وتكتبه اختصارا $R^n$ .

والآن إلى أولى الحقائق وعلاقة الضرب المباشر بالحلقيات المكونة له.

حقيقة1: لأي $k \in I$ فإن التطبيق $\pi _k :\prod\limits_{i \in I} {M_i } \xrightarrow{{}}M_k$ المعطى بالصيغة $\pi _k (f) = f_i$ تشاكل حلقيات شامل.

الجمع المباشر(الضرب المباشر الضعيف أو المقيد)

لتكن $\{ M_i :i \in I\}$ عائلة من الحلقيات $M_i$ على حلقة R حيث. الضرب المباشر الضعيف weak direct product أو الضرب المباشر المقيد restricted direct product لعائلة الحلقيات $\{ M_i :i \in I\}$ هو تجمع جميع الدوال $f \in \prod\limits_{i \in I} {M_i }$ المتلاشية ما عدا عند عدد منتهي من i. بمعنى أن $f(i) = 0_i$ (حيث $0_i$ هو صفر الحلقية $M_i$ ) لجميع $i \in I$ ما عدا عدد منتهي منها.

يشار لهذا التجمع بـالرمز $\prod\limits_{i \in I} {^W M_i }$ . في كثير من الأحيان يطلق على الضرب المباشر المقيد اسم الجمع المباشر direct sum ونستخدم الرمز $\sum\limits_{i \in I} {M_i }$ للدلالة عليه أو الجمع المباشر الخارجي external direct sum إذا خشينا الالتباس مع الجمع المباشر الداخلي internal direct product المعتمد على تجمع $\{ M_i :i \in I\}$ لحلقيات جزئية من حلقية M.

إذا كانت $f,g \in \sum\limits_{i \in I} {M_i }$ فإن $f + g$ حيث $(f + g)(i) = f(i) + g(i)$ متلاشية ما عدا عند عدد منتهي من i. كذلك إذا كانت $r \in R$ فإن $rf$ المعرفة بالصيغة $(rf)(i) = rf(i)$ متلاشية ما عدا عند عدد منتهي من i. كما في الضرب المباشر (الغير مقيد) المعرف أعلاه , الضرب الداخلي الضعيف يصبح حلقية على R تحت عمليتي هاتين العمليتين.

إذا كانت مجموعة الأدلة I منتهية فإنه لا فرق بين الضرب المباشر والجمع المباشر, لذلك فنحن لا نفرق بين المصطلح جمع مباشر أو ضرب مباشر في حالة تجمع منتهي من الحلقيات.

حقيقة2: تكن $\{ M_i :i \in I\}$ عائلة من الحلقيات $M_i$ على حلقة R عندئذ:

(1) $\sum\limits_{i \in I} {M_i }$ حلقية فعلية من $\prod\limits_{i \in I} {M_i }$ .

(2) لأي $k \in I$ فإن التطبيق $i_k :M_k \xrightarrow{{}}\sum\limits_{i \in I} {M_i }$ المعطى بالصيغة $\pi _k (a) = \{ a_i \}$ حيث $a_k = a$ و $a_i = 0_i$ لكل $i \ne k$ تشاكل حلقيات أحادي.