قابلية القسمة على 7

Divisibility by 7

تعتبر قاعدة القسمة على 7 أصعب قواعد القسمة في الأعداد التي اقل من 10. وهناك عدة طرق رقمية لاختبار قابلية القسمة على العدد 7 نذكر بعض منها.

الطريقة الأولى:
عبارة عن خوارزمية مبسطة تهدف إلى توليد عدد جديد أصغر من العدد الذي نبحث قابليته للقسمة بحيث يكون الحكم علي هذا العدد الجديد(من حيث قابليته للقسمة على 7) يكافئ تماما الحكم على العدد الأصلي. سنبدأ شرح هذه الطريقة بالمثال التالي:

لنفرض أننا نريد بحث قابلية قسمة العدد 4578 على العدد 7. تبدأ الخوارزمية (الطريقة الحسابية) بحذف خانة الآحاد بعد أن نأخذ ضعفها لنطرحه من العدد المتبقي وهو 457 فنحصل على:

$457 - 16 = 441$

هذا الناتج سيقبل القسمة على 7 إذا وفقط إذا كان العدد الأصلي يقبل القسمة على 7(سنثبت هذا بعد قليل). طبعا هذا الناتج ما زال أكبر من أن نحكم عليه دون عناء لذلك نكرر تطبيق الخوارزمية عليه للحصول على عدد أصغر منه وهكذا نستمر حتى نحصل على عدد يمكن الحكم على قابليته للقسمة على العدد 7.

العملية تسير على النحو التالي:

$4578{\rm{ }} \to {\rm{ }}(457 - 16){\rm{ }} = {\rm{ }}441{\rm{ }} \to {\rm{ }}(44 - 2{\rm{ }}) = {\rm{ }}42$

لقد طبقنا الخوارزمية مرتين وحصلنا على العدد 42 الذي يقبل القسمة على 7 لذلك العدد قيد الاختبار 4578 يقبل القسمة على العدد 7.

مثال1: اختبر قابلية قسمة العدد 556677 على العدد 7 .

$\begin{array}{l} 556677 \to (55667 - 14) = 55653 \to (5565 - 6{\rm{ }}) = 5559 \\ \quad \quad \quad \to (555 - 18) = 537 \to (53 - 14{\rm{ }}) = 39 \\ \end{array}$

اثبات صحة الطريقة الأولى:

العدد الطبيعي $m = a_n a_{n - 1} a_{n - 2} \ldots a_2 a_1$ يمكن كتابته على الشكل

$a_n a_{n - 1} a_{n - 2} \ldots a_2 a_1 = 10(a_n a_{n - 1} a_{n - 2} \ldots a_2 ) + a_1 = 10Y + X$

بضرب الناتج في ( $- 2$ ) (وهذا لا يغير من قابلية القسمة على 7 لأن 2 و 7 أوليان نسبيا) سنحصل على

$- 20Y - 2X$

بإضافة $21\;Y$ لهذا المقدار سنحصل على

$Y - 2X$

هذا الناتج سيقبل القسمة على 7 إذا وفقط إذا كان ( $- 20Y - 2X$ ) يقبل القسمة على العدد 7 لأن المقدار المطروح هو من مضاعفات العدد7. العدد الناتج $Y - 2X$ هو بالضبط العدد المعطى بعد حذف خانة الآحاد منه وطرح ضعفها من العدد المتبقي. أي ان

$Y - 2X = (a_n a_{n - 1} a_{n - 2} \ldots a_2 ) - 2a_1$

وهذا يثبت صحة الطريقة التي اتبعناها في المثال 1 في التحقق من قابلية القسمة لعدد معين على العدد 7.

يعاب على هذه الطريقة أنها ستكون مطولة جدا في حالة الأعداد الكبيرة. على سبيل المثال العدد المكون من 20 خانة يحتاج لتطبيق الخوارزمية على الأقل 16 أو 17 مرة حتى تحصل على عدد قابل للحكم على قاسميته.

الطريقة الثانية (طريقة باسكال): طريقة غير مطولة وتعتمد على كل أرقام العدد ولكن تحتاج لحفظ الخوارزمية الخاصة بها وتناسب الأعداد الكبيرة. وحتى نبرز هذه الميزة سنقوم بتطبيقها على عدد كبير نوعا ما. كما أن العدد كثير الخانات سيساعد في ايضاح الأسلوب المتبع في هذه الخوارزمية.

افرض لدينا العدد 54911654196 نريد اختبار قابليته للقسمة على 7 . طريقة باسكال عبارة عن عملية ذات نمط تكراري , حيث تتكرر نفس الخطوات كل ثلاثة أرقام ولكن مع تغيير الإشارة. دعنا نسمى الخطوات المطبقة على الثلاثة أعداد الأولى بالمرحلة الأولى , والخطوات المطبقة على الثلاثة أعداد التالية بالمرحلة الثانية وهكذا ... .

المرحلة الأولى هي:

الرقم الأول + 3 × الرقم الثاني + 2 × الرقم الثالث

6 + 3(9)+2(1)

المرحلة الثانية بنفس الإجراءات على الترتيب مع تغيير الإشارة الى سالب

- الرقم الرابع - 3× الرقم الخامس - 2× الرقم السادس

ثم المرحلة الثالثة ولكن باشارة موجبة ثم المرحلة الرابعة ولكن باشارة سالبة وهكذا ونتوقف عندما ننتهى من كل أرقام العدد ثم نجمع كل نواتج هذه المراحل والعدد المعطى يقبل القسمة على العدد 7 إذا وفقط إذا كان مجموع (باسكال) يقبل القسمة على7.

إذا بتطبيق طريقة باسكال على العدد المعطى نحصل على:

6 + 3(9)+2(1) - 4 - 3(5) - 2(6) + 1 + 3(1)+2(9) - 4 - 3(5)= 7

وحيث أن المجموع يقبل القسمة على 7 فإن العدد الأصلي 54911654196 يقبل القسمة على 7.

لإجراء الحساب بشكل أسرع يمكن أن تضع ثلاثة اقواس بمعاملات 1, 2, 3 وتضع داخل كل قوس الأرقام التابعة له وبالإشارة المناسبة:

(6 - 4 + 1 - 4) +3(9 - 5 + 1 - 5) +2(1- 6 + 9) = (-1) + (0) + 2(4) = 7

إثبات الطريقة الثانية:

من باب التنويع سنثبت صحة هذه الطريقة باستخدام مفهوم التطابقات . الفكرة التي تقف خلف هذه الطريقة هي بواقي قوى العشرة عندد قسمتها على 7 وهذا سرد لقوى العشرة وباقي قسمتها على 7 عبرنا عنه بمفهوم التطابق معيار 7. تابع البواقي وقارنها بالأرقام الواردة في الطريقة الثانية.

$1 \equiv 1(\bmod 7)$

$10 \equiv 3(\bmod 7)$

$100 \equiv 2(\bmod 7)$

$100 \equiv - 1(\bmod 7)$

$10000 \equiv - 3(\bmod 7)$

$100000 \equiv - 2(\bmod 7)$

هذه هي البواقي المختلفة لقوى العشرة معيار 7 وهي ( $-2,-3,-1,2,3,1$ )وبالاستمرار في كتابة قوى 10 ستتولد نفس البواقي من جديد وبنفس الترتيب, وهذا يفسر لنا طريقة باسكال ويثبت صحتها.

شو رأيك بهذه الطريقة:
لنأخذ العدد 112 مبدئياً وهي صالحة من أجل أي عدد
نبدأ من أعلى مرتبة المئات الرقم 1
إذ كان العدد 12-1*5 يقبل القسمة على 7 فالعدد يقبل القسمة على 7
12-1*5=7 بالتالي يقبل القسمة على7
عدد آخر 556677
56-5*7 = 21 ................1
21677
16-2*5 = 6...................2
677
77-6*5 =47.................3
بالتالي العدد لا يقبل القسمة على7
مثال آخر:715015
15-7*5 = -20 = 1 أخذنا بالمود 7 mod
1015
1-1*5 =-4 = 3
35 >>>>>>>>>>>>>>>> يقبل القسمة على 7
والعدد يقبل القسمة على 7