الحلقة القاسمية

Division Ring

تعريف

لتكن R حلقة ذات محايد $1_R \ne 0$ . نقول أن R حلقة قاسمية division ring أو حقل متخالف skew field إذا كان لكل عنصر غير صفري معكوس.

بعبارة أخرى الحلقة القاسمية تحقق جميع شروط الحقل ما عدا أنه لا يتطلب أن تكون إبدالية. إذا هي الحلقة التي تؤلف فيها العناصر الغير صفرية زمرة مع عملية الضرب.

كل حقل هو حلقة قاسمية بينما العكس غير صحيح بشكل عام. فيما يلي نقدم مثال يبين ذلك ثم يعقبه مبرهنة تبين حالات يكون فيها كل حلقة قاسمية حقلا.

مثال (حلقة قاسمية ليست حقلا):

لتكن $M_2 (\mathbb{C})$ حلقة جميع المصفوفات من النوع $2 \times 2$ التي مدخلاتها من حقل الأعداد المركبة $\mathbb{C}$ ولتكن D مجموعة كل المصفوفات التي على الشكل

$A = \left( {\begin{array}{*{20}c} z & w \\ { - \bar w} & {\bar z} \\\end{array}} \right)$

حيث $\bar z$ مرافق العدد المركب z. من السهل االتحقق من أن D حلقة ذات محايد هو مصفوفة الوحدة. ليكن $z = a + ib$ و $w = c + id$ . بما أن

$\left| A \right| = z\bar z + w\bar w = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$

فإن المحدد لا يساوي صفر إلا عندما $z = 0,w = 0$ لذلك كل مصفوفة غير صفرية في D لها معكوس, أي أن D حلقة قاسمية ولكنها ليست حقل لأنها ليست إبدالية. يعتبر هذا المثال من أشهر الأمثلة على حلقة قاسمية ليست حقلا. الحلقة D تسمى مرباعيات هاميلتون Hamilton quaternions.

المراجع

أ.د فالح بن عمران الدوسري, مقدمة في نظرية الحلقات

ب. هارتلي, ت. هاوكس, الحلقات, الحلقيات والجبر الخطي, ترجمة د. يوسف بن
عبد الله الخميس, د. أحمد حميد شراري, جامعة الملك سعود , النشر العلمي
والمطابع

Thomas W. Hungerford, ALGEBRA, Springer-Verlag.

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

الحلقة القاسمية

Division Ring

تعريف

المراجع

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة