القاسم لعدد صحيح

Divisor of Integer

تعريف 1 : ليكن a عدد صحيح لا يساوي صفر , نقول أن a قاسم للعدد الصحيح b (وتكتب ذلك رمزيا [tex]a|b[/tex]) إذا وجد عدد صحيح c بحيث [tex]b = ca[/tex]. أحيانا نصف العدد a بأنه عامل من عوامل b , كما نقول أن b مضاعف للعدد a . وإذا لم يكن a قاسم للعدد الصحيح b فإننا نعبر عن ذلك بالشكل[tex]a\not |b[/tex].

مثال1: [tex]2|8[/tex] لأنه يوجد عدد صحيح وهو 4 بحيث [tex]8 = 4 \times 2[/tex]. كذلك [tex]11|66[/tex] لأن[tex]66 = 6 \times 11[/tex] بينما [tex]5\not |19[/tex] لأنه لا يوجد عدد صحيح c بحيث [tex]19 = c \times 5[/tex].

نرمز لمجموعة قواسم عدد صحيح a بالرمز [tex]D_a [/tex] ونرمز لمجوعة مضاعفات عدد a بالرمز [tex]M_a [/tex]. أي أن

[tex]M_a = \{ ac:c \in \mathbb{Z}\} = \{ \ldots , - 2a, - a,0,a,2a, \ldots \}[/tex]

مثال2:

[tex]D_6 = \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}[/tex]

[tex]M_4 = \{ 4c:c \in \mathbb{Z}\} = \{ 0, \pm 4, \pm 8, \pm 12, \ldots \}[/tex]

حقيقة 1: كل قاسم لعددين هو قاسم لمجموعهما وقاسم للفرق بينهما , أي أنه إذا كان [tex]a|b[/tex] و [tex]a|c[/tex] فإن[tex]a|(b \pm c)[/tex] .

البرهان: سنثبت جزء ونترك آخر للقارئ . افرض أن a قاسم للعددين b , c . إذا يوجد [tex]x,y \in \mathbb{Z}[/tex] بحيث[tex]b = xa[/tex] , [tex]c = ya[/tex] وبجمع المتساويتين

[tex]b + c = xa + ya = (x + y)a = za[/tex]

إذا a يقسم المجموع [tex]b + c[/tex]. وبالمثل يمكنك تبيان أن a يقسم الفرق [tex]b - c[/tex].

النظرية^[م] الآتية تشمل بعض الخصائص المباشرة للقاسم , والفقرة الأولى منها تعتبر تعميم للحقيقة السابقة لتشمل اي تركيب خطي[tex]bm + cn[/tex] من b , c حيث m, n أعداد صحيحة.

نظرية 1: لتكن a, b , c أعداد صحيحة.

إذا كان a قاسم للعددين c , b فإنه قاسم للتركيب الخطى [tex]bm + cn[/tex] حيث m, n أعداد صحيحة.
إذا كان a يقسم b وكان b يقسم c فإن a يقسم c
إذا كان a يقسم b فإنه يقسم كل مضاعف bc للعدد b
إذا كان a يقسم b فإن ac يقسم bc حيث c عدد صحيح لا يساوي صفر
إذا كان a يقسم b وكان b يقسم a فإن a=b أو a= - b
إذا كان b صحيح موجب فإنه الأكبر من بين قواسمه , بمعنى أن [tex]a \le b[/tex] لكل a يقسم b.

البرهان :

1. افرض أن [tex]x,y \in \mathbb{Z}[/tex] بحيث[tex]b = xa[/tex] , [tex]c = ya[/tex]. إذا

[tex]bm + cn = m(xa) + n(ya) = (mx)a + (ny)a = (mx + ny)a[/tex]

إذا a يقسم التركيب الخطي [tex]bm + cn[/tex] لأن هذا التركيب يساوي a مضروبا في العدد الصحيح [tex]mx + ny[/tex].

2. من المعطى يوجد [tex]x,y \in \mathbb{Z}[/tex] بحيث[tex]b = xa[/tex], [tex]c = yb[/tex]. إذا a يقسم c لأن

[tex]c = yb = y(xa) = (yx)a[/tex]

3. متروك للقارئ

4. متروك للقارئ

5. من المعطى يوجد [tex]x,y \in \mathbb{Z}[/tex] بحيث [tex]b = xa[/tex], [tex]a = yb[/tex]. بالتعويض من إحدى المتساويتين في الثانية ثم الاختصار ينتج أن [tex]xy = 1[/tex] وهذا يكافئ ([tex]x = y = 1[/tex] أو [tex]x = y = - 1[/tex] ) وهذا يقتضي أن ([tex]a = b[/tex] أو [tex]a = - b[/tex]).

6. يكفي أن نثبت أن b أكبر من أي قاسم موجب, لذلك افرض أن القاسم a موجبا . إذا

[tex]b = ca \ge 1 \cdot a = a[/tex]

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <center> <em> <strong> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <thead> <tr> <td>
LaTeX formulas are automatically converted into images.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.