القاسم لعدد صحيح

Divisor of Integer

تعريف 1 : ليكن a عدد صحيح لا يساوي صفر , نقول أن a قاسم للعدد الصحيح b (وتكتب ذلك رمزيا $a|b$ ) إذا وجد عدد صحيح c بحيث $b = ca$ . أحيانا نصف العدد a بأنه عامل من عوامل b , كما نقول أن b مضاعف للعدد a . وإذا لم يكن a قاسم للعدد الصحيح b فإننا نعبر عن ذلك بالشكل $a\not |b$ .

مثال1: $2|8$ لأنه يوجد عدد صحيح وهو 4 بحيث $8 = 4 \times 2$ . كذلك $11|66$ لأن $66 = 6 \times 11$ بينما $5\not |19$ لأنه لا يوجد عدد صحيح c بحيث $19 = c \times 5$ .

نرمز لمجموعة قواسم عدد صحيح a بالرمز $D_a$ ونرمز لمجوعة مضاعفات عدد a بالرمز $M_a$ . أي أن

$M_a = \{ ac:c \in \mathbb{Z}\} = \{ \ldots , - 2a, - a,0,a,2a, \ldots \}$

مثال2:

$D_6 = \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}$

$M_4 = \{ 4c:c \in \mathbb{Z}\} = \{ 0, \pm 4, \pm 8, \pm 12, \ldots \}$

حقيقة 1: كل قاسم لعددين هو قاسم لمجموعهما وقاسم للفرق بينهما , أي أنه إذا كان $a|b$ و $a|c$ فإن $a|(b \pm c)$ .

البرهان: سنثبت جزء ونترك آخر للقارئ . افرض أن a قاسم للعددين b , c . إذا يوجد $x,y \in \mathbb{Z}$ بحيث $b = xa$ , $c = ya$ وبجمع المتساويتين

$b + c = xa + ya = (x + y)a = za$

إذا a يقسم المجموع $b + c$ . وبالمثل يمكنك تبيان أن a يقسم الفرق $b - c$ .

النظرية الآتية تشمل بعض الخصائص المباشرة للقاسم , والفقرة الأولى منها تعتبر تعميم للحقيقة السابقة لتشمل اي تركيب خطي $bm + cn$ من b , c حيث m, n أعداد صحيحة.

نظرية 1: لتكن a, b , c أعداد صحيحة.

إذا كان a قاسم للعددين c , b فإنه قاسم للتركيب الخطى $bm + cn$ حيث m, n أعداد صحيحة.
إذا كان a يقسم b وكان b يقسم c فإن a يقسم c
إذا كان a يقسم b فإنه يقسم كل مضاعف bc للعدد b
إذا كان a يقسم b فإن ac يقسم bc حيث c عدد صحيح لا يساوي صفر
إذا كان a يقسم b وكان b يقسم a فإن a=b أو a= - b
إذا كان b صحيح موجب فإنه الأكبر من بين قواسمه , بمعنى أن $a \le b$ لكل a يقسم b.

البرهان :

1. افرض أن $x,y \in \mathbb{Z}$ بحيث $b = xa$ , $c = ya$ . إذا

$bm + cn = m(xa) + n(ya) = (mx)a + (ny)a = (mx + ny)a$

إذا a يقسم التركيب الخطي $bm + cn$ لأن هذا التركيب يساوي a مضروبا في العدد الصحيح $mx + ny$ .

2. من المعطى يوجد $x,y \in \mathbb{Z}$ بحيث $b = xa$ , $c = yb$ . إذا a يقسم c لأن

$c = yb = y(xa) = (yx)a$

3. متروك للقارئ

4. متروك للقارئ

5. من المعطى يوجد $x,y \in \mathbb{Z}$ بحيث $b = xa$ , $a = yb$ . بالتعويض من إحدى المتساويتين في الثانية ثم الاختصار ينتج أن $xy = 1$ وهذا يكافئ ( $x = y = 1$ أو $x = y = - 1$ ) وهذا يقتضي أن ( $a = b$ أو $a = - b$ ).

6. يكفي أن نثبت أن b أكبر من أي قاسم موجب, لذلك افرض أن القاسم a موجبا . إذا

$b = ca \ge 1 \cdot a = a$

ابحث

اسم المستخدم

القائمة الرئيسية

شبكة الرياضيات

روابط الأسس ونظرية العدد

روابط الهندسية

روابط التحليل الرياضي

القاسم لعدد صحيح

Divisor of Integer

التعليقات

علِّق

الإبحار

رياضيات المرحلة المتوسطة