الحلقة الإقليدية

Euclidean Ring

تعريف

تسمى الحلقة التامة R حلقة إقليدية euclidean ring إذا وجد تطبيق من مجموعة عناصر R الغير صفرية $R^*$ إلى مجموعة الأعداد الصحيحة الغير سالبة بحيث

1. $N(a) \leqslant N(ab)$ لكل $a,b \in R^*$ .

2. لأي $a,b \in R^*$ يوجد $q,r \in R$ بحيث أن $a = qb + r$ و $r = 0$ أو $N(r) < N(b)$ .

التطبيق N يسمى تقويم إقليدس Euclid evaluation. الشرط الثاني يعد تعميما لخوارزمية القسمة المعروفة في نظرية العدد غير أن العنصرين $q,r \in R$ ليس بالضرورة أن يكونا وحيدين ويسمى خوارزمية إقليدس Euclid algorithm.

أمثلة على حلقات إقليدية.

1. لتكن $N(a)$ القيمة المطلقة للعدد الصحيح a فإن حلقة الأعداد الصحيحة $\mathbb{Z}$ حلقة اقليدية بموجب الخاصية $\left| a \right| \leqslant \left| {ab} \right|$ لكل $a,b \in \mathbb{Z}^*$ و خوارزمية اقليدس في نظرية العدد

2. في الحقل F إذا عرفنا $N(a) = 1$ لكل عنصر غير صفري a من F فإننا نحصل على حلقة إقليدية وفيها كل باقي $r = 0$ .

3. إذا كانت $F[x]$ حلقة الحدوديات على حقل F فإن الدالة $d:F[x] \to \mathbb{Z}^ +$ التي ترسل كل حدودية f إلى درجتها $d(f)$ تجعل من $F[x]$ حلقة إقليدية.

4. حلقة صحاح جاوس $\mathbb{Z}(i) = \{ a + ib:a,b \in \mathbb{Z}\}$ مع التطبيق $N(a + ib) = \left| {a + ib} \right|$ تصبح حلقة إقليدية, انظر حلقة صحاح جاوس.

نظريات

مبرهنة1: كل حلقة إقليدية R هي منطقة مثالية رئيسية.

البرهان: افرض أن $I \ne \{ 0\}$ مثالي في R. بما أن $N(I\backslash \{ 0\} )$ جزئية من مجموعة الأعداد الصحيحة الغير سالبة فإنها تملك عنصر أصغر, إذا يوجد $b \in I$

بحيث $N(b)$

له أصغر قيمة وليكن a عنصر غير صفري من I. من خوارزمية إقليدس يوجد $q,r \in R$ بحيث $a = qb + r$ و $r = 0$ أو $N(r) < N(b)$ . بما أن I مثالية و $r = a - qb$ فإن r في I وبالتالي يستحيل أن يكون $N(r) < N(b)$ . إذا $r = 0$ وبالتالي $I = (a)$ .

حقيقة2: في الحلقة الإقليدية R العنصر u عنصر وحدة إذا وإذا فقط كان $N(u) = N(1)$ .

البرهان: إذا كان u عنصر وحدة فإنه يوجد $v \in R$ بحيث $uv = 1$ وبالتالي

$N(u) \leqslant N(uv) = N(1) \leqslant N(1u) = N(u)$

إذا $N(u) = N(1)$ . عكسيا, لتكن $N(u) = N(1)$ . من خوارزمية إقليدس يوجد $q,r \in R$ بحيث

$1 = qu + r,\quad r = 0\;{\text{or}}\;N(r) < N(u)$

إذا كانت $r \ne 0$ فإن $N(1) \leqslant N(r1) = N(r) < N(u)$ والتي تؤدي إلى $N(u) < N(1)$ وهذا مناقض للفرض. إذا $r = 0$ وعليه $1 = qu$ . أي أن u عنصر وحدة.

حقيقة3: في الحلقة الإقليدية R إذا كان a ليس عنصر وحدة فإن $N(b) < N(ab)$ لكل $b \in R^*$ .

البرهان: افرض أن a عنصر وحدة وأن $b \in R^*$ بحيث $N(b)\not < N(ab)$ . إذا من تعريف الحلقة الإقليدية فإن $N(b) = N(ab)$ . من خوارزمية اقليدس يوجد $q,r \in R$ بحيث

$b = qab + r,\quad r = 0\;{\text{or}}\;N(r) < N(ab)$

إذا لم يكن $r = 0$ فإن $r = (1 - qa)b$ تقضي بأن

$N(r) = N((1 - qa)b) \geqslant N(b)$

وهذا تناقض لأن $N(r) < N(ab) = N(b)$ . إذا $r = 0$ وبالتالي $b = qab$ ومن قانون الاختصار في الضرب نحصل على $1 = qa$ . أي أن a عنصر وحدة وهذا تناقض. إذا $N(b) < N(ab)$ .