حقيقة فاتو

Fatou's Lemma

حقيقة فاتو هي النظرية الثانية من نظريات التقارب في تكامل لوبيغ. وهي لا تفرض أي قيود على متتابعة الدوال^[م] الغير سالبة القيمة $(f_n )$ وتتعلق بالنهاية السفلى $\lim \inf f_n (x)$ كما أنها لا تصح على غير هذا النوع من الدوال^[م].

حقيقة فاتو1: إذا كانت $(f_n )$ متتابعة في فإن

$\int {\lim \inf f_n d\mu } \le \lim \inf \int {f_n d\mu }$

البرهان: اجعل $g_m = \inf \{ f_m ,f_{m + 1} , \ldots \}$ . إذا $f_n \ge g_m$ لكل $n \ge m$ وبالتالي فإنه لكل $n \ge m$ لدينا

$\int {g_m d\mu } \le \int {f_n d\mu }$

النهاية السفلى للطرف الأيمن تبقى محافظة على هذا التباين بمعنى

$\int {g_m d\mu } \le \lim \inf \int {f_n d\mu }$

وحيث أن $(g_m )$ تناقصية وتتقارب إلى $\lim \inf f_n$ فإن نظرية التقارب المطرد تؤدي إلى أن

$\int {(\lim \inf f_n )d\mu } = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \int {g_m d\mu } \le \lim \inf \int {f_n d\mu }$

مثال على تباين فعلي في حقيقة فاتو

التبيان في حقيقة فاتو يمكن أن يكون تباين فعلي strictly inequality, كمثال على هذا سنعرف متتابعة على $X = [0,1]$ مع مقياس لوبيغ m

$f_n = n\chi _{(0,1/n)} \,\, \Rightarrow \;\;\int {f_n } dm = n \cdot m((0,1/n)) = n(1/n) = 1$

المتتابعة $f_n$ متقاربة (نقطيا) للدالة $f = 0$ إذا

$\int {\lim \inf f_n d\mu } = \int {fd\mu } = 0 < \lim \inf \int {f_n d\mu } = 1$

مراجع

Royden, Real Analysis
W. Ruden, Real and Complex Analysis

نبذة عن كاتب الموضوع

$User picture$

الإسم: محترف

عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.

علِّق

التعليق: *

Every instance heading tags will be modified to include an id attribute for anchor linking.
Every instance of "" in the input text will be replaced with a collapsible mediawiki-style table of contents. Accepts options for title, list style, minimum heading level, and maximum heading level as follows: . All arguments are optional and defaults are shown.
LaTeX formulas are automatically converted into images.
وسوم html المسموح بها: <a> <i> <p> <b> <em> <center> <strong> <cite> <code> <ul> <ol> <li> <dl> <dt> <div> <dir> <span> <style> <br> <br /> <blockquote> <h1> <h2> <h3> <h4> <h5> <h6> <hr> <img> <sub> <sup> <table> <tbody> <tfoot> <th> <thead> <tr> <td> <dd>
بإمكانك استخدام وسوم BBCode في النصوص URLs will automatically be converted to links.
تتحول مسارات مواقع وب و عناوين البريد الإلكتروني إلى روابط آليا.
Use [fn]...[/fn] (or <fn>...</fn>) to insert automatically numbered footnotes.
Use [# ...] to insert automatically numbered footnotes. Textile variant.
Web page addresses and e-mail addresses turn into links automatically. (Better URL filter.)
Link to content with [[some text]], where "some text" is the title of existing content or the title of a new piece of content to create. You can also link text to a different title by using [[link to this title|show this text]]. Link to outside URLs with [[http://www.example.com|some text]], or even [[http://www.example.com]].
Glossary terms will be automatically marked with links to their descriptions. If there are certain phrases or sections of text that should be excluded from glossary marking and linking, use the special markup, [no-glossary] ... [/no-glossary]. Additionally, these HTML elements will not be scanned: a, abbr, acronym, code, pre.
Images can be added to this post.

معلومات أكثر عن خيارات التنسيق

كلمة التحقق

This question is for testing whether you are a human visitor and to prevent automated spam submissions.