الصفحة الرئيسية » نظرية العدد

نظرية فيرما الصغرى


Fermat's Little Theorem

 

نظرية (فيرما الصغرى) 1: إذا كان p عدد أولي وكان a عدد صحيح بحيث =1(a,p) فإن

 

a^{p - 1} \equiv 1(\bmod p)

 

البرهان (طريقة معتمدة على حساب التطابقات): الأعداد

 

a, 2a, 3a, 4a, ... , (p-1)a

 

كلها ذات بواقي مختلفة

1, 2, 3, 4, ..., (p-1).

 

عند قسمتها على p. للتأكد من هذا افرض أن

 

ma=na (mod p)

 

إذاa(m - n) يقبل القسمة على p ولكن هذا مستحيل لأن a,p أوليان نسبيا ولأن الفرق m-n أصغر من p.

 

حاصل ضرب الأعداد يطابق حاصل ضرب البواقي معيارp. أي أن

 

a^{p - 1} (p - 1)! \equiv (p - 1)!\;(\bmod p)

 

وهذا يكافي

a^{p - 1} \equiv 1\;(\bmod p)

 

لأن المضروب والعدد p أوليان نسبيا بهذا تثبت نظرية فيرما الصغرى.

 

طرق أخرى

لنظرية فيرما عدة براهين ممتعة , البرهان أعلاه يعتبر من أكثرها بداهة مقارنة بالمفاهيم المستخدمة. احدى الطرق الأخرى تتم باستخدام نظرية لاجرانج في الزمر التي تنص على مايلي:

 

إذا كانت G زمرة بحيث |G|=n وكان a عنصر من G رتبته m فإن m تقسم n.

 

خذ الزمرة الضربية \mathbb{Z}_p^* وليكن a عدد صحيح رتبته m. a^m \equiv 1(\bmod p) وكذلك حسب لاجرانج p-1=km حيث k عدد صحيح موجب. إذا

 

a^{p - 1} \equiv a^{km} \equiv (a^m )^k \equiv 1^k = 1(\bmod p)

 

يمكن أيضا إثبات نظرية فيرما باستخدام نظرية ذات الحدين. وذلك بإثبات الصورة الأعم

 

a^p \equiv a\;(\bmod p)

 

حيث a أي عدد صحيح وليس بالضرورة أولي نسبي مع p. عندما يكون أوليا نسبيا مع p يمكن اختصار a من الطرفين ونحصل على العلاقة التي في نظرية فيرما.

 

يكفي أن نأخذ الأعداد الغير سالبة ونبرهن صحة هذه العلاقة بالاستقراء الرياضي والاعتماد على المتطابقة

 

(a + b)^p \equiv a^p + b^p \;(\bmod p)

 

خطوة الأساس[م]: النتيجة واضحة عندما a=0.


خطوة الفرض: افرض أن a^p \equiv a\;(\bmod p) ولنثبت أن (a + 1)^p \equiv a + 1\;(\bmod p). كما يلي

 

خطوة الاستقراء:

(a + 1)^p \equiv a^p + 1^p = a + 1\;(\bmod p)


مراجع

Algebra, Thomas W. Hungerford

http://en.wikipedia.org

 

 

نبذة عن كاتب الموضوع
User picture

الإسم: محترف
عضو مؤسس في شبكة الرياضيات رمز.