الحلقية ذات المولدات المنتهية

Finitely Generated Module

تعريف الحلقية المولدة بمجموعة

إذا كانت M حلقية على R وكانت $A \subset M$ فإن الحلقية الجزئية المولدة بواسطة A هي أصغر حلقية جزئية من M تحوي A.

مثل هذه الحلقية موجودة دائما لأنها تقاطع لعناصر تجمع غير خال مكون من جميع الحلقيات الجزئية من M التي تحوي A.

نحتاج لبعض المفاهيم حول ضرب المجموعات في الحلقيات لتساعدنا في صياغة أو توصيف عناصر الحلقية المولدة بواسطة مجموعة A.

ضرب المجموعات في الحلقيات

إذا كانت M حلقية على R وكانت $A \subset M$ و $X \subset R$ مجموعات جزئية غير خالية فإننا نعرف حاصل ضربهما $XA$ بطريقة مشابهة لضرب الحلقات الجزئية من حلقة على أنه مجموعة المجاميع المنتهية لعناصر من الشكل $xa$ حيث $x \in X,\;a \in A$ . أي أن

$XA = \{ \sum\limits_{i = 1}^m {x_i a_i } :x_i \in X,\;a_i \in A,m \in \mathbb{Z}^ + \} \quad (*)$

إذا كانت $X = \{ r\}$ ذات عنصر واحد r فنكتب $rA$ بدلا من $\{ r\} A$ . كذلك إذا كانت $A = \{ a\}$ فنكتب $Xa$ بدلا من $X\{ a\}$ . إذا كانت $A \subset M$ زمرة جزئية و X ذات عنصر واحد $r \in R$ فإن $rA$ تأخذ شكلا مبسطا

$rA = \{ ra:a \in A\}$

كذلك إذا كانت A ذات عنصر وحيد a وكانت X مثالية في R فإن

$Xa = \{ xa:x \in X\}$

من السهل التحقق من الخصائص التالية لحاصل الضرب $XA$ .

1. إذا كانت A زمرة جزئية من M فإن $XA$ زمرة جزئية من M.

2. إذا كانت X زمرة جزئية من $(R, + )$ فإن $XA$ زمرة جزئية من M.

3. إذا كانت $X \subset R$ مثالية فإن $XA$ حلقية جزئية من M.

في المبرهنة التالية تتبين العلاقة بين الحلقية المولدة بواسطة A وبين حاصل الضرب الذي قدمناه.

مبرهنة1: لتكن M حلقية على R. إذا كانت $A \subset M$ مجموعة غير خالية فإن الحلقية الجزئية المولدة بواسطة A هي

$RA = \{ \sum\limits_{i = 1}^m {r_i a_i } :r_i \in R,\;a_i \in A,m \in \mathbb{Z}^ + \}$

الحلقية المولدة بواسطة حلقيات جزئية

من هذه المبرهنة ينتج لنا أنه إذا كانت $N_1 ,N_2 , \ldots ,N_K$ حلقيات جزئية من حلقية M على R فإن الحلقية المولدة بواسطة $\cup N_i$ هي

$N = N_1 + N_2 + \cdots + N_K$

وذلك لأن $RA \supset N$ حيث الاحتواء الآخر $RA \subset N$ متحقق من تعريف الحلقية المولدة بواسطة مجموعة.

الحلقية ذات المولدات المنتهية

إذا كانت M حلقية على حلقة R فإن الحلقية المولدة بواسطة $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in M$ تسمى حلقية ذات مولدات منتهية finitely generated module. العناصر $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n$ تسمى المولدات the generator. الحلقية الجزئية المولدة بواسطة عنصر واحد a تسمى حلقية دائرية.

ليس صعبا أن تلاحظ أن الحلقية المولدة بواسطة $A = \{ a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \}$ تعطى وفق التالي:

$Ra_1 + Ra_2 + \ldots + Ra_n = \{ r_1 a_1 + r_2 a_2 + \ldots + r_n a_n :r_i \in R\}$

وكحالة خاصة $Ra = \{ ra:r \in R\}$ هي الحلقية الدائرية المولدة بواسطة $a \in M$ .

للتحقق من ذلك لاحظ أن $RA \supset Ra_1 + Ra_2 + \ldots + Ra_n$ . من جهة أخرى $RA$ هي الحلقية المولدة بواسطة A وبالتالي محتواه في أي حلقية أخرى جزئية وتحوي A. إذا

$RA \subset Ra_1 + Ra_2 + \ldots + Ra_n$

حلقية الضرب الداخلي R^n

1. إذا كانت R حلقة ذات محايد $1$ فإن حلقية الضرب الداخلي $R^n$ المكونة من النونيات المرتبة $(r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n )$ حيث $r_i \in R$ تمثل حلقية ذات مولدات منتهية

$e_1 = (1,0,0, \ldots ,0),\;e_2 = (0,1,0 \ldots ,0),\; \ldots ,\;e_n = (0,0,0, \ldots ,1)$

لأن كل عنصر في $R^n$ عبارة عن تركيب من الشكل $r_1 e_1 + r_2 e_2 + \cdots + r_n \;e_n$ حيث $r_i \in R$ .

مبرهنة2: إذا كانت M حلقية على R فإن M ذات مولدات منتهية إذا وإذا فقط كان هناك تشاكل شامل $\phi :R^n \to M$ لقيمة معينة n.

البرهان: لتكن $a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n \in M$ مولدات M. عرف $\phi :R^n \to M$ بالقاعدة:

$\phi \left( {(r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n )} \right) = r_1 a_1 + r_2 a_2 + \ldots + r_n a_n$

لاحظ

$\begin{array}{*{20}c} {\phi \left( {s(r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n )} \right)} \hfill & { = \phi \left( {(sr_1 ,sr_2 , \ldots ,sr_n )} \right) = sr_1 a_1 + sr_2 a_2 + \ldots + sr_n a_n } \hfill \\ {} \hfill & { = s(r_1 a_1 + r_2 a_2 + \ldots + r_n a_n ) = s\phi \left( {(r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n )} \right)} \hfill \\ \end{array}$

بالمثل

$\phi \left( {(r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n ) + (s_1 ,s_2 , \ldots ,s_n )} \right) = \phi \left( {(r_1 ,r_2 , \ldots ,r_n )} \right) + \phi \left( {(s_1 ,s_2 , \ldots ,s_n )} \right)$

إذا $\phi$ تشاكل وهو شامل وضوحا.عكسيا, إذا كان $\phi :R^n \to M$ تشاكل حلقيات شامل. سنبرهن الآن أن M مولدة بواسطة

$\pi (e_1 ),\pi (e_2 ),\; \ldots ,\;\pi (e_n )$

حيث

$e_1 = (1,0,0, \ldots ,0),\;e_2 = (0,1,0 \ldots ,0),\; \ldots ,\;e_n = (0,0,0, \ldots ,1)$

ليكن $a \in M$ . بما أن $\phi$ شامل يوجد $x \in R$ بحيث $\phi (x) = a$ . ولكن

$x = r_1 e_1 + r_2 e_2 + \; \ldots + r_n e_n$

إذا

$\phi (x) = r_1 \phi (e_1 ) + r_2 \phi (e_2 ) + \; \ldots + r_n \phi (e_n )$

وذلك لأن $\phi$ تشاكل وهذا ينهي الإثبات.

نتيجة3: إذا كان $h:M \to N$ تشاكل حلقيات شامل وكانت M ذات مولدات منتهية فإن N ذات مولدات منتهية.

البرهان: بما أن تركيب تشاكلين شاملين هو تشاكل شامل فإن $h \circ \phi :R^n \to N$ تشاكل حلقيات شامل وبالتالي M ذات مولدات منتهية حسب المبرهنة السابقة.